Irrazionalità di e

[mensola1]

Stavo vedendo questa dimostrazione: https://www.matematicamente.it/approfond ... 712222486/ sull'irrazionalità di e.
Ma non capisco in che modo fa la somma della serie geometrica, nell'ultimo passaggio, da dove esce:
[tex]\displaystyle \frac{1}{b+1}\left ( \frac{1}{1-\frac{1}{b-1}} \right )[/tex]?
Non dovrebbe esserci, semplicemente, [tex]\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{b-1}}-\frac{1}{b-1}[/tex]?
(ovvio che no, visto che i conti non tornano )

[j18eos]

Nota che l'indice della sommatoria [tex]$k$[/tex] parte da [tex]$1$[/tex] e non da [tex]$0$[/tex], prova da sol*.

[mensola1]

Sì, sì, me ne ero accorto. Per quello ho scritto
[tex]\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{b-1}}-\frac{1}{b-1}[/tex]
e non
[tex]\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{b-1}}[/tex]
(Assumendo che se la somma parte da uno devo togliere il primo addendo... ma il prodotto da dove esce?)

[j18eos]

In parte no T_T ed in parte sì

Dovendo essere [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}:|q|<1$[/tex], se l'indice parte da [tex]$1$[/tex] hai [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}-1:|q|<1$[/tex]; prova così che è più semplice!

Altrimenti, "porta prima fuori" [tex]$\frac{1}{b+1}$[/tex] e vedi come cambia il termine generale della serie eppoi somma!

[mensola1]

Ho capito con la seconda parte (quella del portare fuori) e così tutto quadra.

La prima ci ho messo un po', ma in realtà bastava semplificare
Grazie