Ipotesi Teorema di Morera
Dato un aperto $A$ connesso e $f:A -> CC$, se $int_\gamma f(z)dz=0$ per ogni $\gamma$ semplice e chiusa contenuta in $A$ allora $f$ è olomorfa in $A$. Perchè è necessario che la curva sia semplice?
Risposte
Nel mio testo di complessa non c'è l'ipotesi $\gamma$ semplice.
Me lo ricordavo dal corso, però anche nel mio testo di analisi complessa si parla di curva chiusa e basta.
Ho comunque ricontrollato. Per la cronaca il testo è Ahlfors, Complex Analysis, seconda edizione (pag. 122).
Tradotto alla meglio vuol dire che "se $f$ è definita e continua in $\Omega$ e se $\int_(\gamma) f dz = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma \in \Omega$, allora $f(z)$ è analitica in $\Omega$".
Ho comunque ricontrollato. Per la cronaca il testo è Ahlfors, Complex Analysis, seconda edizione (pag. 122).
If $f(z)$ is defined and continuous in a region $\Omega$ and if $\int_(\gamma) f dz = 0$ for all closed curve $\gamma$ in $\Omega$, then $f(z)$ is analytic in $\Omega$.
Tradotto alla meglio vuol dire che "se $f$ è definita e continua in $\Omega$ e se $\int_(\gamma) f dz = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma \in \Omega$, allora $f(z)$ è analitica in $\Omega$".
In effetti parlandone con il prof ha ammesso che nella dimostrazione non abbiamo usato quell'ipotesi, ha detto che una curva non semplice porterebbe a problemi di altra natura che per il corso che sto seguendo non mi interessano ( nè potrei comprendere con le conoscenze che ho )
Ciao scusa se riapro questo vecchia discussione, mi servirebbe questa dimostrazione del th di Morera, potresti in qualche modo inviarmela?!
"sangi89":
Ciao scusa se riapro questo vecchia discussione, mi servirebbe questa dimostrazione del th di Morera, potresti in qualche modo inviarmela?!
...
dici a me?
a ma servirebbe la dimostrazione del th di Morera, indipendentemente da chi più mandarmela 
Traduco alla buona il testo inglese: l'enunciato è quello di qualche post e mese fa sempre in questa discussione (Ahlfors, pag. 122). La dimostrazione è brevissima a dire il vero (magari fossero tutti così).
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Le ipotesi del teorema implicano che $f(z)$ è la derivata di una funzione analitica $F(z)$ e sappiamo, dunque, che $f(z)$ stessa è analitica.
>>
Suppongo che si rifaccia ad un teorema (che ora non ritrovo, ma che so che esiste) che dice che se $f$ è analitica, allora $\int_\gamma f(z)dz=0$ per ogni curva chiusa $\gamma$.
Comunque, se vuoi la dimostrazione del teorema di Morera "completa", cioè che non si rifà ad altri teoremi, posso provare a cercarla in un altro testo di analisi complessa che ho, ma ovviamente non garantisco un risultato.
(Comunque sta su wiki una dimostrazione, ma non so di che qualità).
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Le ipotesi del teorema implicano che $f(z)$ è la derivata di una funzione analitica $F(z)$ e sappiamo, dunque, che $f(z)$ stessa è analitica.
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Suppongo che si rifaccia ad un teorema (che ora non ritrovo, ma che so che esiste) che dice che se $f$ è analitica, allora $\int_\gamma f(z)dz=0$ per ogni curva chiusa $\gamma$.
Comunque, se vuoi la dimostrazione del teorema di Morera "completa", cioè che non si rifà ad altri teoremi, posso provare a cercarla in un altro testo di analisi complessa che ho, ma ovviamente non garantisco un risultato.
(Comunque sta su wiki una dimostrazione, ma non so di che qualità).
se riesci a trovarla mi fai un favore, il th a cui tu fai riferimento credo sia il th di Cauchy-Goursat
D. Zill, P. Shaanan, A first course of Complex Analysis with application... lo dimostra uguale a quello di Ahlfors (pag. 279): propone però un modo alternativo come esercizio (pag. 283) suggerendo l'utilizzo delle formule di Green (?)...
Nenvallinna-Paatero Introduction to Complex Analysis lo dà come esercizio (pag. 165) ma come suggerimento dà la risposta che sta sull'Ahlfors...
Sorry, questo è quello che ho trovato!
EDIT
Adesso che ho un pizzico di tempo scrivo qui quello che dice il libro di D. Zill e P. Shaanan riguardo all'esercizio (dimostrazione alternativa). Traduco alla buona.
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Talvolta nella dimostrazione del teorema di Morera si assume la continuità di $f'$ nel dominio. In questo caso, utilizzando il teorema di Green per scrivere $\int_\gamma f(z)dz$ come
$\int_\gamma f(z)dz = \int_\gamma udx - vdy + i \int_\gamma vdx + udy=$
$=\int \int_R (- \frac{\partial v}{\partial x}- \frac{\partial u}{\partial y})dA + i \int \int_R (\frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y})dA$,
dove $R$ è la regione delimitata da $\gamma$.
>>
Se ti si accende qualche lampadina (a me no perché con gli integrali doppi non ho familiarità...)
Nenvallinna-Paatero Introduction to Complex Analysis lo dà come esercizio (pag. 165) ma come suggerimento dà la risposta che sta sull'Ahlfors...
Sorry, questo è quello che ho trovato!
EDIT
Adesso che ho un pizzico di tempo scrivo qui quello che dice il libro di D. Zill e P. Shaanan riguardo all'esercizio (dimostrazione alternativa). Traduco alla buona.
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Talvolta nella dimostrazione del teorema di Morera si assume la continuità di $f'$ nel dominio. In questo caso, utilizzando il teorema di Green per scrivere $\int_\gamma f(z)dz$ come
$\int_\gamma f(z)dz = \int_\gamma udx - vdy + i \int_\gamma vdx + udy=$
$=\int \int_R (- \frac{\partial v}{\partial x}- \frac{\partial u}{\partial y})dA + i \int \int_R (\frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y})dA$,
dove $R$ è la regione delimitata da $\gamma$.
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Se ti si accende qualche lampadina (a me no perché con gli integrali doppi non ho familiarità...)
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