Ipotesi teorema di cauchy
Ciao a tutti... ho questa equazione differenziale : $y'=3x^2/y$ e mi si chiede di specificare per quali valori iniziali sono verificate le ipotesi del Teorema di Cauchy.
Io ho pensato di fare così:
mi accorgo subito che $3x^2/y$ non ha senso in $y=0$, per questo dico che l'esistenza della soluzione è assicurata solo per valori $(x,y)$ con $y!=0$.
Inoltre derivando ripsetto ad $y$ la funzione $3x^2/y$ la derivata non ha senso sempre per $y=0$ e quindi l'unicità della soluzione è assicurata solo per valori $(x,y)$ con $y!=0$.
Una volta che ho dimostrato l'esistenza e l'unicità della soluzione, ho verificato le ipotesi del teorema di cauchy, infatti queste valgono per $(x,y)$ di $R^2 : y !=0$.....è corretto il mio ragionamento? grazie mille
Io ho pensato di fare così:
mi accorgo subito che $3x^2/y$ non ha senso in $y=0$, per questo dico che l'esistenza della soluzione è assicurata solo per valori $(x,y)$ con $y!=0$.
Inoltre derivando ripsetto ad $y$ la funzione $3x^2/y$ la derivata non ha senso sempre per $y=0$ e quindi l'unicità della soluzione è assicurata solo per valori $(x,y)$ con $y!=0$.
Una volta che ho dimostrato l'esistenza e l'unicità della soluzione, ho verificato le ipotesi del teorema di cauchy, infatti queste valgono per $(x,y)$ di $R^2 : y !=0$.....è corretto il mio ragionamento? grazie mille
Risposte
Il secondo membro è una funzione di classe \(C^1\) nell'aperto \(\Omega := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\neq 0\}\). Di conseguenza le ipotesi del classico teorema di esistenza e unicità locale sono soddisfatte per ogni dato iniziale \((x_0, y_0)\in\Omega\).
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