Ipotesi teorema derivazione per serie

[AnalisiZero]

Ciao,

Ho trovato due versioni delle ipotesi sul teorema di derivazione per serie. L' unica differenza è che nelle slide del corso la convergenza di $sum_(n=0)^(+infty)f_n(x)$ è sufficiente in un $x_0 in [a,b]$, mentre in tutti gli altri enunciati l'ipotesi è che $sum_(n=0)^(+infty)f_n(x)$ converga in $[a,b]$.

Le altre ipotesi sono identiche. Non avendo fatto la dimostrazione a lezione vorrei sapere qual è l' ipotesi "giusta".

[Reyzet]

Non mi ricordo per serie, ma nella versione che ho visto a lezione per le successioni di funzioni si richiede la convergenza puntuale in un solo punto e la convergenza uniforme della successione delle derivate ovunque. Per le serie il discorso dovrebbe essere molto simile.

[otta96]

Se hai come ipotesi che le funzioni sono $C^1$, allora è sufficiente la prima ipotesi.
Se non hai quell'ipotesi non lo so perché non mi ricordo come si dimostra in quel caso.

[AnalisiZero]

Le $f_n$ sono tutte $C^1$ in entrambi gli enunciati.

[AnalisiZero]

Qualcuno?

[otta96]

Cosa qualcuno?

[AnalisiZero]

Il problema non è risolto, nel libro c'è scritto "se la serie converge in $[a,b]$", nelle slide del corso "se la serie converge in almeno un $x_0 in [a,b]$".
Tenendo presente che:

"AnalisiZero":Le $f_n$ sono tutte $C^1$ in entrambi gli enunciati.

Vorrei capire quale ipotesi considerare.

[otta96]

Basta la convergenza in un punto, te l'ho detto. Comunque prova a dimostrarlo da solo che almeno capisci anche perché è te lo ricordi bene. Ricorda il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e quello fondamentale del calcolo integrale.