Ipotesi Teorema del cambio della variabile nel limite
Ciao ragazzi questo è il teorema a cui mi riferisco:
Siano $f$ e $g$ due funzioni. Se si ha:
$i) lim_(x -> alpha) f(x)=c$
$ii) lim_(t ->c) g(t)=l$
$iii) f(x) != c $ in un intorno di $alpha$
Allora:
$lim_(x ->alpha) g(f(x))=lim_(t ->c) g(t)=l$
Bene, non riesco a capire il motivo della terza ipotesi: ho appuntato che "si può verificare che $f(x)$ associa ad $alpha$ proprio il valore $c$". Ora, io so tutto il procedimento che è stato fatto per arrivare a tale teorema(cioè, detto alla buona, se era possibile passare in qualche modo dall'intorno di $alpha$ all'intorno di $l$ direttamente, senza usare l'intorno di $c$). E, quando passo dall'intorno di $alpha$ all'intorno di $c$ volevo capire perchè ho scritto questa cosa. Quando vado a fare il processo al limite generico $lim_(x ->c) f(x)$ io non mi sto andando a calcolare il valore $f(c)$ perciò come può essere che "si può verificare che $f(x)$ associa ad $alpha$ proprio il valore $c$" oppure che cosa intendeva il mio prof con quella frase ?
N.B.: Io ho capito perchè quel valore non può essere assunto; è a causa della definizione di limite di g(f(x)). Voglio solo sapere perchè ho scitto che il calcolo di un limite significa calcolarmi la funzione in quel punto
Siano $f$ e $g$ due funzioni. Se si ha:
$i) lim_(x -> alpha) f(x)=c$
$ii) lim_(t ->c) g(t)=l$
$iii) f(x) != c $ in un intorno di $alpha$
Allora:
$lim_(x ->alpha) g(f(x))=lim_(t ->c) g(t)=l$
Bene, non riesco a capire il motivo della terza ipotesi: ho appuntato che "si può verificare che $f(x)$ associa ad $alpha$ proprio il valore $c$". Ora, io so tutto il procedimento che è stato fatto per arrivare a tale teorema(cioè, detto alla buona, se era possibile passare in qualche modo dall'intorno di $alpha$ all'intorno di $l$ direttamente, senza usare l'intorno di $c$). E, quando passo dall'intorno di $alpha$ all'intorno di $c$ volevo capire perchè ho scritto questa cosa. Quando vado a fare il processo al limite generico $lim_(x ->c) f(x)$ io non mi sto andando a calcolare il valore $f(c)$ perciò come può essere che "si può verificare che $f(x)$ associa ad $alpha$ proprio il valore $c$" oppure che cosa intendeva il mio prof con quella frase ?
N.B.: Io ho capito perchè quel valore non può essere assunto; è a causa della definizione di limite di g(f(x)). Voglio solo sapere perchè ho scitto che il calcolo di un limite significa calcolarmi la funzione in quel punto
Risposte
Ti propongo un esempio concreto:
Come lo spiego formalmente al professore(devo sostenere un esame orale)..
Lo spieghi con l'esempio che ti ha gentilmente proposto Sergeant Elias.
Se vuoi dire qualcosa di carino a supporto, potresti pensare di dire che la definizione di limite (per la componente esterna $g$) non ti consente di "controllare" il valore di $g(f(x))$ nei punti in cui $f(x)=c$ e ciò può causare problemi nella verifica della definizione di limite per la funzione composta $g(f(x))$.
Se vuoi dire qualcosa di carino a supporto, potresti pensare di dire che la definizione di limite (per la componente esterna $g$) non ti consente di "controllare" il valore di $g(f(x))$ nei punti in cui $f(x)=c$ e ciò può causare problemi nella verifica della definizione di limite per la funzione composta $g(f(x))$.
Va bene grazie!
In effetti $g$ potrebbe benissimo non essere neanche definita in $c$. Quindi $g(f(x))$, per avere senso, potrebbe avere bisogno che $f(x)\ne c$. E comunque il valore di $g$ in $c$ deve essere ininfluente ai fini del limite.
Fermo restando che la risposta definitiva alla tua domanda è un esempio, come quello di Elias. Queste considerazioni mie sono chiacchiere, che spero ti siano d'aiuto.
Fermo restando che la risposta definitiva alla tua domanda è un esempio, come quello di Elias. Queste considerazioni mie sono chiacchiere, che spero ti siano d'aiuto.
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