Ipotesi nel metodo di sostituzione
Ciao a tutti! Vi scrivo perche ho un problema con il metodo di integrazione per sostituzione. Il metodo recita:
Passo ad un esempio concreto, in cui ho qualche domanda da fare:
$int_()^() (x^3)/(sqrt(1+x^2)) dx $
mi viene da porre
$1+x^2 = t^2$
ossia scegliere
$x=g(t) = sqrt(t^2 -1)$
ma in realtà potrei anche scegliere, a seconda di come voglio il segno di $x$:
$x=g(t) = -sqrt(t^2-1)$
Allora suddivido l'integrazione della funzione in due pezzi:
$int_()^() (x^3)/(sqrt(1+x^2)) dx $ in $x>=0$
$int_()^() (x^3)/(sqrt(1+x^2)) dx $ in$ x<0$
Integrazione per $x>=0$:
Definisco bene la $g(t)$. Dominio: $t in [1,+oo]$. Codominio: $g(t) in [0,+oo]$.
Faccio le sostituzioni ed ottengo:
$int sqrt((t^2-1)^3)/|t| *(t)/sqrt(t^2-1)dt$
ma $|t| = t$ per come ho scelto il dominio di $g(t)$, quindi arriviamo a:
$intsqrt((t^2-1)^2) dt = int |t^2-1| dt = int t^2-1 dt$
in cui ancora, grazie alla scelta giusta del dominio di g(t),$ |t^2-1| = t^2 -1$.
Dopodichè finisco l'integrazione:
$t^3 /3 -t = 1/3{(sqrt(1+x^2))^3-3sqrt(1+x^2)} = sqrt(1+x^2) * (x^2-2)/3$
in cui ho utilizzato $ t = sqrt(1+x^2)$
(se sceglievo il dominio della g negativo avrei dovuto utilizzare $ t=-sqrt(1+x^2)$)
Integrazione per $x<0$:
Scelgo $ x = g(t) = -sqrt(t^2-1)$.
Succede che la differenza di segno durante i passaggi si compensa, e l'integrale che ottengo è lo stesso che nell'integrazione in $x>=0$.
Le domande:
1) durante gli esercizi in classe i professori non si curano minimamente di specificare tutte le ipotesi su $g(t)$(come il dominio od il codominio). Una volta fissata quest'ultima, vanno avanti senza neanche mettere tutti quei moduli che ho messo io, e che poi mi si "semplificano" grazie alla scelta di $g(t)$. Allora mi chiedo: faccio bene (ed è corretto?) ad essere così puntiglioso nell'integrazione, oppure non ne vale la pena, nel senso che succede sempre che eventuali moduli (o quant'altro) si "semplifichino"?
2) nell'integrazione dell'esempio, ho scelto $g$ con dominio $D_g :t>1$, ma potevo benissimo scegliere $t<1$. Ho provato a fare l'integrazione e mi viene sempre lo stesso risultato. Quindi suppongo, che la scelta del dominio $D_g$ sia arbitraria, purchè i valori $g(t)$ siano contenuti nei valori consentiti di $x$, ossia nel dominio della funzione integranda.
E' giusto?
3) Se scegliessi una $g$ tale che i valori $g(t)$ non "riempiano" al variare di $t$ tutti i valori consentiti ad $x$, farei un errore di qualche tipo?
un esempio: $x = g(t) = sin(t)$.
Quello che mi viene da pensare è che una $g$ così sarebbe sicuramente iniettiva, e dunque l'unico problema in cui incapperei sarebbe quello di riesprimere la soluzione in funzione di $x$.
Scusate il post lungo, ma questi dubbi mi stanno facendo diventare matto!!
Spero in una risposta
Grazie per l'attenzione!
Sia $f$ una funzione continua e $g$ una funzione derivabile con derivata continua.
Risulta
$ [int_()^() f(x) dx ]_(x=g(t)) = int_()^()f(g(t))g'(t) dt $
Commento: la formula non richiede che la g(t) sia invertibile. Tuttavia per riportare il risultato finale in funzione di x è necessario che lo sia.
Passo ad un esempio concreto, in cui ho qualche domanda da fare:
$int_()^() (x^3)/(sqrt(1+x^2)) dx $
mi viene da porre
$1+x^2 = t^2$
ossia scegliere
$x=g(t) = sqrt(t^2 -1)$
ma in realtà potrei anche scegliere, a seconda di come voglio il segno di $x$:
$x=g(t) = -sqrt(t^2-1)$
Allora suddivido l'integrazione della funzione in due pezzi:
$int_()^() (x^3)/(sqrt(1+x^2)) dx $ in $x>=0$
$int_()^() (x^3)/(sqrt(1+x^2)) dx $ in$ x<0$
Integrazione per $x>=0$:
Definisco bene la $g(t)$. Dominio: $t in [1,+oo]$. Codominio: $g(t) in [0,+oo]$.
Faccio le sostituzioni ed ottengo:
$int sqrt((t^2-1)^3)/|t| *(t)/sqrt(t^2-1)dt$
ma $|t| = t$ per come ho scelto il dominio di $g(t)$, quindi arriviamo a:
$intsqrt((t^2-1)^2) dt = int |t^2-1| dt = int t^2-1 dt$
in cui ancora, grazie alla scelta giusta del dominio di g(t),$ |t^2-1| = t^2 -1$.
Dopodichè finisco l'integrazione:
$t^3 /3 -t = 1/3{(sqrt(1+x^2))^3-3sqrt(1+x^2)} = sqrt(1+x^2) * (x^2-2)/3$
in cui ho utilizzato $ t = sqrt(1+x^2)$
(se sceglievo il dominio della g negativo avrei dovuto utilizzare $ t=-sqrt(1+x^2)$)
Integrazione per $x<0$:
Scelgo $ x = g(t) = -sqrt(t^2-1)$.
Succede che la differenza di segno durante i passaggi si compensa, e l'integrale che ottengo è lo stesso che nell'integrazione in $x>=0$.
Le domande:
1) durante gli esercizi in classe i professori non si curano minimamente di specificare tutte le ipotesi su $g(t)$(come il dominio od il codominio). Una volta fissata quest'ultima, vanno avanti senza neanche mettere tutti quei moduli che ho messo io, e che poi mi si "semplificano" grazie alla scelta di $g(t)$. Allora mi chiedo: faccio bene (ed è corretto?) ad essere così puntiglioso nell'integrazione, oppure non ne vale la pena, nel senso che succede sempre che eventuali moduli (o quant'altro) si "semplifichino"?
2) nell'integrazione dell'esempio, ho scelto $g$ con dominio $D_g :t>1$, ma potevo benissimo scegliere $t<1$. Ho provato a fare l'integrazione e mi viene sempre lo stesso risultato. Quindi suppongo, che la scelta del dominio $D_g$ sia arbitraria, purchè i valori $g(t)$ siano contenuti nei valori consentiti di $x$, ossia nel dominio della funzione integranda.
E' giusto?
3) Se scegliessi una $g$ tale che i valori $g(t)$ non "riempiano" al variare di $t$ tutti i valori consentiti ad $x$, farei un errore di qualche tipo?
un esempio: $x = g(t) = sin(t)$.
Quello che mi viene da pensare è che una $g$ così sarebbe sicuramente iniettiva, e dunque l'unico problema in cui incapperei sarebbe quello di riesprimere la soluzione in funzione di $x$.
Scusate il post lungo, ma questi dubbi mi stanno facendo diventare matto!!
Spero in una risposta
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Intanto, complimenti per il tuo spirito critico. 
Puoi trovare una risposta, dimostrando il seguente teorema:
Ipotesi
1. $f:[a,b]->RR$ continua.
2. $F:[a,b]->RR$ continua e derivabile.
3. $[c,d] sub [a,b]$.
4. $AA x in [c,d] : F'(x)=f(x)$.
Tesi
$AA x in [a,b] : F'(x)=f(x)$.
Esempio: $int_()^()x dx$
Utilizzando il metodo di sostituzione mediante un generico cambiamento di variabile dipendente da $2$ parametri $a$ e $b$:
$[x=asent+b] rarr [int_()^()x dx=int_()^()(asent+b)acost dt=1/2(asent+b)^2=1/2x^2]$
A rigore, $x in [-a+b,a+b]$ se $a>0$, $x in [a+b,-a+b]$ se $a<0$. Tuttavia, la primitiva ottenuta si può estendere su tutto $RR$. In questo modo, si può evitare di distinguere i diversi intervalli contenuti nel dominio $x in RR$ della funzione $f(x)=x$.
Puoi trovare una risposta, dimostrando il seguente teorema:Ipotesi
1. $f:[a,b]->RR$ continua.
2. $F:[a,b]->RR$ continua e derivabile.
3. $[c,d] sub [a,b]$.
4. $AA x in [c,d] : F'(x)=f(x)$.
Tesi
$AA x in [a,b] : F'(x)=f(x)$.
Esempio: $int_()^()x dx$
Utilizzando il metodo di sostituzione mediante un generico cambiamento di variabile dipendente da $2$ parametri $a$ e $b$:
$[x=asent+b] rarr [int_()^()x dx=int_()^()(asent+b)acost dt=1/2(asent+b)^2=1/2x^2]$
A rigore, $x in [-a+b,a+b]$ se $a>0$, $x in [a+b,-a+b]$ se $a<0$. Tuttavia, la primitiva ottenuta si può estendere su tutto $RR$. In questo modo, si può evitare di distinguere i diversi intervalli contenuti nel dominio $x in RR$ della funzione $f(x)=x$.
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