Ipotesi del teorema di Schwarz
Teorema di Schwarz:
Affinché le derivate miste siano uguali, ad esempio presa una funzione $f$ in un aperto $A$ del piano,
devo supporre continue entrambe le derivate miste, cioè sia $f_{xy}$ sia $f_{yx}$?
E se ho che f è dotata di derivate prime $f_x$,$f_y$ e derivata mista $f_{xy}$,e quest'ultima è continua in un punto $(barx,bary)$ allora anche $f_{yx}$ è continua in questo punto?
E soprattutto se $f_{xy}$ è continua lo sono anche $f_x$,$f_y$?
Affinché le derivate miste siano uguali, ad esempio presa una funzione $f$ in un aperto $A$ del piano,
devo supporre continue entrambe le derivate miste, cioè sia $f_{xy}$ sia $f_{yx}$?
E se ho che f è dotata di derivate prime $f_x$,$f_y$ e derivata mista $f_{xy}$,e quest'ultima è continua in un punto $(barx,bary)$ allora anche $f_{yx}$ è continua in questo punto?
E soprattutto se $f_{xy}$ è continua lo sono anche $f_x$,$f_y$?
Risposte
Nell'attesa che un'anima pia mia risponda 
, posto la dimostrazione,
per vedere se è esatta.
Sia $f$ una funzione definita in un aperto $A$ del piano, dotata di derivate prime $f_x,f_y$ e di derivata mista $f_{xy}$.
Se $f_xy$ è continua in un punto $(x_0,y_0)$ anche $y$ è derivabile rispetto a $x$ in $(x_0,y_0)$
in particolare si ha: $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$
Dimostrazione:
Posto $(x_0,y_0)=(0,0)$
Per l'ipotesi di continuità di $f_{xy}$ in $(0,0)$, fissato $epsilon$ posso prendere un cerchio $S$ di centro $(0,0)$ e raggio $r>0$ in $A$ tale che $AA x in S_r$ risulti |$f_{xy}(x,y)-f_{xy}(0,0)|
Preso $(x,y)$ all'interno di $S_r$ , (per comodità scelgo $x,y>0$) mi disegno un rettangolino di vertici:
$(0,0),(x,0),(x,y),(0,y)$
Definisco funzioni:
$F(x)=f(x,y)-f(x,0)$
$G(y)=f(x,y)-f(0,y)$
Considero
$F(x)- F(0)$ e
$G(x)-G(0)$
Applico il teorema di Lagrange ad entrambe due volte: per $F(x)$ trovo $0
Ugualmente per $G(y)$ trovo $0
Da una verifica diretta (facendo i "calcoli") viene fuori che $F(x)- F(0) = G(x)-G(0)$
Allora sono uguali anche
$f_{xy}(x_1,y_1)xy = f_{yx}(x_2,y_2)xy$
$f_{xy}(x_1,y_1) = f_{yx}(x_2,y_2)$
Dove $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ sono entrambi contenuto nel rettangolo di vertici $(0,0),(x,0),(x,y),(0,y)$
Passando al limite di $(x,y)->(0,0)$ anche $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ tendono a $(0,0)$
Per l'ipotesi di continuità su $f_{xy}$ e $f_{yx}$ nel punto $(0,0)$ si ottiene la testi $f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$
PS: l'enunciato è corretto così? O devo supporee che le derivate miste esistono e sono continue in un punto e stop? O le due cose sono equivalenti?
, posto la dimostrazione, per vedere se è esatta.
Sia $f$ una funzione definita in un aperto $A$ del piano, dotata di derivate prime $f_x,f_y$ e di derivata mista $f_{xy}$.
Se $f_xy$ è continua in un punto $(x_0,y_0)$ anche $y$ è derivabile rispetto a $x$ in $(x_0,y_0)$
in particolare si ha: $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$
Dimostrazione:
Posto $(x_0,y_0)=(0,0)$
Per l'ipotesi di continuità di $f_{xy}$ in $(0,0)$, fissato $epsilon$ posso prendere un cerchio $S$ di centro $(0,0)$ e raggio $r>0$ in $A$ tale che $AA x in S_r$ risulti |$f_{xy}(x,y)-f_{xy}(0,0)|
Preso $(x,y)$ all'interno di $S_r$ , (per comodità scelgo $x,y>0$) mi disegno un rettangolino di vertici:
$(0,0),(x,0),(x,y),(0,y)$
Definisco funzioni:
$F(x)=f(x,y)-f(x,0)$
$G(y)=f(x,y)-f(0,y)$
Considero
$F(x)- F(0)$ e
$G(x)-G(0)$
Applico il teorema di Lagrange ad entrambe due volte: per $F(x)$ trovo $0
Ugualmente per $G(y)$ trovo $0
Da una verifica diretta (facendo i "calcoli") viene fuori che $F(x)- F(0) = G(x)-G(0)$
Allora sono uguali anche
$f_{xy}(x_1,y_1)xy = f_{yx}(x_2,y_2)xy$
$f_{xy}(x_1,y_1) = f_{yx}(x_2,y_2)$
Dove $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ sono entrambi contenuto nel rettangolo di vertici $(0,0),(x,0),(x,y),(0,y)$
Passando al limite di $(x,y)->(0,0)$ anche $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ tendono a $(0,0)$
Per l'ipotesi di continuità su $f_{xy}$ e $f_{yx}$ nel punto $(0,0)$ si ottiene la testi $f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)$
PS: l'enunciato è corretto così? O devo supporee che le derivate miste esistono e sono continue in un punto e stop? O le due cose sono equivalenti?
Il teorema di Schwarz afferma:
Sia $f:A subseteq RR^n->RR$ con $A$ aperto: supponendo che le derivate seconde miste $f_(x,y)$, $f_(y,x)$ esistano in un intorno di $mathbf(x)_0$ e siano ivi entrambe continue, allora esse coincidono in $mathbf(x)_0$.
In particolare, se le derivate seconde miste $f_(x,y)$, $f_(y,x)$ esistono e sono continue in $A$, allora esse coincidono in tutto $A$.
Sia $f:A subseteq RR^n->RR$ con $A$ aperto: supponendo che le derivate seconde miste $f_(x,y)$, $f_(y,x)$ esistano in un intorno di $mathbf(x)_0$ e siano ivi entrambe continue, allora esse coincidono in $mathbf(x)_0$.
In particolare, se le derivate seconde miste $f_(x,y)$, $f_(y,x)$ esistono e sono continue in $A$, allora esse coincidono in tutto $A$.
Grazie,
Il dubbio mi era sorto perchè il mio prof nella dispensa lo enuncia così
La dimostrazione va bene così?
Il dubbio mi era sorto perchè il mio prof nella dispensa lo enuncia così
"asabasa":
Sia $f$ una funzione definita in un aperto $A$ del piano, dotata di derivate prime $f_x,f_y$ e di derivata mista $f_{xy}$.
Se $f_xy$ è continua in un punto $(x_0,y_0)$ anche $y$ è derivabile rispetto a $x$ in $(x_0,y_0)$
in particolare si ha: $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$
La dimostrazione va bene così?
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