Ipotesi del teorema dei moltiplicatori di Lagrange (2 var.)

[haterofman]

Riporto di seguito come mi è stato presentato il teorema dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due variabili:

$Omega sub RR^2$ aperto, $F:Omega->RR$ derivabile con derivate parziali continue. $P_0=(x_0, y_0) in Omega$, $F(x_0,y_0)=0$ e $gradF(x,y) !=0$ $AA(x,y) in Omega$.
Sia $f:Omega->RR$ derivabile con derivate parziali continue tali che $AA(x,y) in Omega: gradf(x,y) !=0$. Se $P_0$ è un punto di massimo o minimo vincolato per f, allora $EElambda in RR$ tale che:
${ ((partialf)/(partialx)(x_0,y_0)-lambda(partialF)/(partialx)(x_0,y_0)=0), ((partialf)/(partialy)(x_0,y_0)-lambda(partialF)/(partialy)(x_0,y_0)=0) :}$

Dim.
Supp. $(partialF)/(partialx)(x_0,y_0)!=0$ e supp. che $P_0$ sia un punto di minimo relativo vincolato. Allora $EE epsilon_1, delta_1 >0$ tali che $AAx in [x_0-epsilon_1, x_0+epsilon_2]: f(x_0,y_0)<=f(x,y)$.
Applichiamo il teorema del Dini: $EEepsilon_2>0, delta_2>0, EE|phi:[x_0-epsilon_2,x_0+epsilon_2]->[y_0-delta_2,y_0+delta_2]$ tali che $AA x in [x_0-epsilon_2,x_0+epsilon_2]: F(x,phi(x))=0$, $phi(x_0)=y_0$, $phi$ è di classe $C^1$ e $phi'(x)=-((partialF)/(partialx)(x,phi(x)))/((partialF)/(partialy)(x,phi(x)))$.

$epsilon:=min{epsilon_1,epsilon_2}$; $AAx in [x_0-epsilon, x_0+epsilon]: g(x)-=f(x,phi(x))>=f(x_0,y_0)=f(x_0,phi(x_0))=g(x_0)$.
g ha un punto di minimo relativo in $x_0$. Poiché g è derivabile, allora dev'essere (per il teorema sulla derivabilità delle funzioni composte): $0=g'(x_0)=(partialf)/(partialx)(x_0,y_0)+(partialf)/(partialy)(x_0,y_0)phi'(x_0)=(partialf)/(partialx)(x_0,y_0)-(partialf)/(partialy)(x_0,y_0)((partialF)/(partialx)(x_0,y_0))/((partialF)/(partialy)(x_0,y_0))$.
Posto $lambda:=((partialf)/(partialy)(x_0,y_0))/((partialF)/(partialy)(x_0,y_0))$ si ha ${ ((partialf)/(partialx)(x_0,y_0)-lambda(partialF)/(partialx)(x_0,y_0)=0), ((partialf)/(partialy)(x_0,y_0)-lambda(partialF)/(partialy)(x_0,y_0)=0) :}$.



La dimostrazione così com'è mi sembra piuttosto chiara; quello che proprio non capisco e l'utilità delle ipotesi $gradF(x,y) !=0$ e $gradf(x,y) !=0$ $AA(x,y) in Omega$. Non vi sembrano ipotesi troppo forti? Non è sufficiente suppore $gradF(x_0,y_0) !=0$ e $gradf(x_0,y_0) !=0$?
Attendo pareri autorevoli (e non ). Grazie dell'attenzione!

[Fioravante Patrone1]

Direi che ci hai visto giusto (NB: non ho controllato la dim che riporti).

Allora, basta che il gradiente di $F$ non sia nullo nel punto $(x_0,y_0)$.

Dopo di che, il moltiplicatore esiste (ed è unico, ma questo fatto è banale).

Quanto all'ipotesi sul gradiente di $f$, questa non serve a niente. Tra l'altro, nella dim "non va mai a denominatore", il che è una spia interessante del fatto che non ci interessi se si annulla o meno.
"In pratica", se il gradiente di $f$ è nullo in $(x_0,y_0)$ in questo punto sono soddisfatte le CN di estremo relativo "libero". Non solo, il moltiplicatore (unico, come detto) è nullo. Insomma, ci si ritrova la solita condizione che il gradiente di $f$ sia nullo. Quindi si tratta di un caso "particolare", ma questo caso comunque non richiede nessun trattamento particolare a livello teorico.

Cose che dico, ad esempio, qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/RO_I ... 009_10.pdf
pagg. 3 e 4.

[haterofman]

Grazie.