Iperreali ed intervalli

[Paolo k]

Non so se sia una dimostrazione rigorosa: sia 0<ω < 1n per ogni n naturale. Prendiamo la retta iperreale ed un intervallo chiuso [a,b] dove a e b sono numeri reali. Usiamo la funzione:" Standard" (st) dell'analisi non standard (st di ω =0), Abbiamo quindi che st [a,b] → st(a+ω, b-ω), quest'ultima con la funzione st diventa [a,b] quindi st è in questo caso una funzione iniettiva da [a,b] a (a,b). Tornando all'analisi standard basta considerare la funzione f(x) =x ed abbiamo una funzione iniettiva da (a,b) e [a,b], quindi (a,b) è equipotente a [a,b]. Ricordo che volevo solo dimostrare l'equipotenza tra l'intervallo aperto e quello chiuso non presentare una biiezione perchè le due funzioni sono diverse, vi prego di dirmi se il procedimento che ho usato è corretto, grazie.

P.S. Scusate se non ho inserito il classico $\epsilon$, è stata una leggerezza, $\omega$ di solito viene usato per indicare il primo ordinale transfinito.

[Paolo k]

Scrivo in modo informale qualcosa sull'analisi non standard di Robinson. Gli iperreali sono la somma di un infinitesimo diverso da 0 ed un numero reale ma non solo, contengono anche gli infiniti. L'infinitesimo $\epsilon0$, quello classico, è l'inverso di un cardinale infinito; $\epsilon0$=$1/aleph0$, dove1$aleph0$ è la cardinalità di $\omega$. Ma esistono infiniti iperreali infiniti, che siano ordinali o cardinali, quindi anche infiniti infinitesimi. Se infatti diamo per buona l'ipotesi generalizzata del continuo abbiamo $\epsilon1$ =$1/aleph1$, in generale $\epsilonk$ =$1/alephk$. Abbiamo così infinitesimi piccoli a piacere, come d(x) o $\epsilon$ dell'analisi standard. Usando un po' d'aritmetica degli iperreali quindi anche nella non standard esistono i punti di accumulazione.

[Studente Anonimo]

Io non so niente di analisi non standard, ma costruire una funzione iniettiva $f: [a,b] to (a,b)$ è facile, basta prendere

$f(x) = (2x+a+b)/4$