Iperpiano in un punto.
Ho la funzione:
$ f(x, y, z) = x e^|y-2| + sqrt (y*z)$. Devo valutare se esista l'iperpiano tangente nel punto $P = (1, 2, 8)$.
Per prima cosa, devo vedere se la funzione è derivabile e se le derivate parziali siano continue in un intorno del punto. E' corretto dire che la frase in grassetto esprima una condizione sufficiente per la differenziabilità, e quindi per la derivabilità (e la continuità) di una funzione a più variabili?
Altra domanda:
Io ho l'esercizio svolto, nel senso che effettivamente viene trovato un piano. Però a me sembra che la funzione non sia derivabile nel punto, poiché la funzione "componente" $f$, vale a dire $|y-2|$, sembra non derivabile nel punto $P$ stesso.
Dove sbaglio?
$ f(x, y, z) = x e^|y-2| + sqrt (y*z)$. Devo valutare se esista l'iperpiano tangente nel punto $P = (1, 2, 8)$.
Per prima cosa, devo vedere se la funzione è derivabile e se le derivate parziali siano continue in un intorno del punto. E' corretto dire che la frase in grassetto esprima una condizione sufficiente per la differenziabilità, e quindi per la derivabilità (e la continuità) di una funzione a più variabili?
Altra domanda:
Io ho l'esercizio svolto, nel senso che effettivamente viene trovato un piano. Però a me sembra che la funzione non sia derivabile nel punto, poiché la funzione "componente" $f$, vale a dire $|y-2|$, sembra non derivabile nel punto $P$ stesso.
Dove sbaglio?
Risposte
La frase in grassetto è quasi corretta: stai citando il teorema del differenziale totale, che afferma che se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora in quel punto la funzione è differenziabile, quindi continua.
Per il secondo punto dovrei fare i calcoli, ora provo... Si tratta di derivare rispetto alla y e vedere se il limite sinistro e destro di questa derivata coincidono, se non vado errando.
Per il secondo punto dovrei fare i calcoli, ora provo... Si tratta di derivare rispetto alla y e vedere se il limite sinistro e destro di questa derivata coincidono, se non vado errando.
Effettivamente in y=2 e x non nullo sembrerebbe sia non continua...
Mi sa che non ho capito molto, allora... Vediamo.
1) Dire che tutte le derivate parziali esistano in un intorno del punto non equivale a dire che la funzione sia derivabile in quell'intorno?
2) Se è presente il valore assoluto, non è "automatico" dire che la funzione non sia derivabile per quei punti che annullano il valore assoluto? E il punto $P$, che appartiene ad un intorno del punto $P$ essendone proprio il "centro", non annulla il valore assoluto, visto che $P_y = 2$ ?
Dovrebbe essere così automatico anche concludere, vista la radice quadrata, che anche in tutti i punti $Q_x$, aventi coordinata $Q_y$ e $Q_z$ uguale a $0$, la funzione non sia differenziabile.
Quindi, secondo le mie conoscenze attuali, guardando il punto e l'espressione, dovrei automaticamente concludere che la funzione non sia differenziabile. E invece, l'iperpiano viene comunque trovato nel mio esercizio
.
1) Dire che tutte le derivate parziali esistano in un intorno del punto non equivale a dire che la funzione sia derivabile in quell'intorno?
2) Se è presente il valore assoluto, non è "automatico" dire che la funzione non sia derivabile per quei punti che annullano il valore assoluto? E il punto $P$, che appartiene ad un intorno del punto $P$ essendone proprio il "centro", non annulla il valore assoluto, visto che $P_y = 2$ ?
Dovrebbe essere così automatico anche concludere, vista la radice quadrata, che anche in tutti i punti $Q_x$, aventi coordinata $Q_y$ e $Q_z$ uguale a $0$, la funzione non sia differenziabile.
Quindi, secondo le mie conoscenze attuali, guardando il punto e l'espressione, dovrei automaticamente concludere che la funzione non sia differenziabile. E invece, l'iperpiano viene comunque trovato nel mio esercizio
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Credo ci sia un errore nei miei appunti. La funzione in questione, infatti, sarebbe la seguente:
$f(x, y, z) = x e^(y-2) + sqrt (y*z)$,
e quindi l'iperpiano può essere trovato.
Ma il mio dubbio rimane: dall' "insieme di derivabilità" (mi rendo conto che forse questa espressione è un eresia, perciò l'ho messa tra virgolette) di una funzione a più variabili è sufficiente escludere i punti che annullano i radicandi di radici ad indice pari, il valore assoluto, e simili?
$f(x, y, z) = x e^(y-2) + sqrt (y*z)$,
e quindi l'iperpiano può essere trovato.
Ma il mio dubbio rimane: dall' "insieme di derivabilità" (mi rendo conto che forse questa espressione è un eresia, perciò l'ho messa tra virgolette) di una funzione a più variabili è sufficiente escludere i punti che annullano i radicandi di radici ad indice pari, il valore assoluto, e simili?
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