Io ci riprovo...serie di funzioni

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7 dic 2007, 18:10

visto che il discorso ieri è caduto nel nulla o quasi ci riprovo..magari oggi passa qualcuno che riesce a darmi una mano

mi è richiesto di calcolare l'integrale definito

$int_0^1 sin(x)/x dx$

con una precisione di due cifre decimali.

osservo che la funzione integranda è continua nell'origine in virtù del limite notevole $lim_(x->0) sin(x)/x = 1$.
Posso sviluppare in serie di Taylor il numeratore come

$sin(x) = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!) = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ...$

e dico quindi che

$sin(x)/x = 1/x*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!) = (x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ...)/x = 1 - x^2/(3!) + X^4/(5!) - x^6/(7!) + ... = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k)/((2k+1)!)$

e dunque

$int_0^1 sin(x)/x dx = int_0^1 sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k)/((2k+1)!) dx$

ora dovrei verificare se questa serie è convergente uniformemente in $[0,1]$ per poter scambiare integrale e sommatoria liberamente (o mi sbaglio?)

come procedo? valuto se è convergente assolutamente ma così so solo che è convergente anche semplicemente..

e per quanto riguarda la precisione decimale? era qualcosa del tipo $S_k - S<=1/100$, con $S_k$ termine generico e $S$ somma della serie, per due decimali e trovare il k per cui lo ottengo?

grazie della pazienza

Risposte

Cantaro86

8 dic 2007, 11:45

allora... io lo fare così:

$(sinx)/x=(x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)-(x^7)/(7!)+.....+f^((n+1))(xi)x^(n+1)/((n+1)!))/x=1-(x^2)/(3!)+(x^4)/(5!)-(x^6)/(7!)+.....+f^((n+1))(xi)x^(n)/((n+1)!)

dove l'ultimo termine è il resto di Lagrange e $0<=xi<=1$

vediamo subito che $|f^((n+1))(xi)x^(n)/((n+1)!)|<=|x^(n)/((n+1)!)|$ visto che $f^((n+1))(xi)<=1$

quindi abbiamo che:

$|(sinx)/x-(1-(x^2)/(3!)+(x^4)/(5!)-(x^6)/(7!)+...)|<=|x^(n)/((n+1)!)|$

integro entrambe:

$|int_0^1(sinx)/x-(1-(x^2)/(3!)+(x^4)/(5!)-(x^6)/(7!)+...)dx|<=int_0^1|(sinx)/x-(1-(x^2)/(3!)+(x^4)/(5!)-(x^6)/(7!)+...)|dx<=int_0^1x^(n)/((n+1)!)dx$

il resto sarà:
$int_0^1x^(n)/((n+1)!)dx=1/((n+1)!)int_0^1x^n=1/((n+1)(n+1)!)$

e infine ottengo l'espressione:

$|int_0^1(sinx)/xdx-int_0^1(1-(x^2)/(3!)+(x^4)/(5!)-(x^6)/(7!)+...)dx|<=1/((n+1)(n+1)!)$

e qui sta a te scegliere un $n$ in base all'approsimazione che vuoi fare...scelto l'$n$ puoi calcolarti $int_0^1(1-(x^2)/(3!)+(x^4)/(5!)-(x^6)/(7!)+...)dx$
nel tuo caso l'$n$ giusto è $n=3$

spero di essere stato utile e soprattutto di non aver fatto errori

Chicco_Stat_1

9 dic 2007, 17:12

grazie mille, è tutto molto chiaro..

una sola precisazione però...
posso scrivere

$int_0^1 (sinx)/x dx$ o devo scrivere $lim_(k->0) int_k^1 (sinx)/x dx$ ?

è un dubbio che mi sorge perché se sviluppo non ho più problemi per quanto riguarda il punto $x=0$, però lì la funzione non è definita..o si? io so che ammette limite

grazie ancora

leev

9 dic 2007, 17:52

"Chicco_Stat_":
grazie mille, è tutto molto chiaro..

una sola precisazione però...
posso scrivere

$int_0^1 (sinx)/x dx$ o devo scrivere $lim_(k->0) int_k^1 (sinx)/x dx$ ?

è un dubbio che mi sorge perché se sviluppo non ho più problemi per quanto riguarda il punto $x=0$, però lì la funzione non è definita..o si? io so che ammette limite

grazie ancora

Visto che la funzione non è definita in $0$, la notazione $int_0^1 (sinx)/x dx$ significa proprio $lim_(k->0) int_k^1 (sinx)/x dx$

Chicco_Stat_1

9 dic 2007, 18:05

perfetto, grazie mille..magari era solo una sottigliezza ma volevo capire bene..

un'altra cosa però..

sviluppando in serie ottengo sotto al segno di integrale

$lim_(k->0) int_k^1 sinx/x dx = lim_(k->0) int_k^1 sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*x^(2n)/((2n+1)!) dx

qui in teoria il $lim$ non mi serve più una volta risolto l'integrale...lo lascio? lo levo?

grassie