Involuzioni

[francox1]

Contesto:

*-algebra A is a *-ring, with involution * that is an over a *-ring R with involution.

Domanda: perché è utile invertire l ordine della moltiplicazione?

L involuzione è definita in diversi modi, ad esempio come antiautomorfismo, ma fondamentalmente l obbiettivo finale è poter cambiare l ordine (proprietà commutativa)

Un esempio di involuzione è il complesso coniugato.
Lo scopo è trovare le radici (root) dei polinomi?

Seconda domanda: dato che l involuzione è una biiezione perché non rilassare questa *-algebra e usare biiezioni che non siano però involuzioni? Che tipo di algebra avremmo?

[solaàl]

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perché è utile invertire l ordine della moltiplicazione?

Non è utile, è la definizione, motivata dal fatto che la moltiplicazione non è commutativa. In un gruppo non commutativo, l'inversione \(x\mapsto x^{-1}\) ha la stessa proprietà.

Un esempio di involuzione è il complesso coniugato.
Lo scopo è trovare le radici (root) dei polinomi?

Probabilmente ti stai riferendo al fatto che un polinomio a coefficienti reali ha un numero complesso per radice se e solo se ha il suo coniugato per radice. Questo non c'entra col fatto che \(\mathbb C\) è una *-algebra.

dato che l involuzione è una biiezione perché non rilassare questa *-algebra e usare biiezioni che non siano però involuzioni? Che tipo di algebra avremmo?

Dipende: perché vuoi farlo? L'involutività è l'unica proprietà che vuoi rimuovere?