Inviluppo superiore di funzioni
ciao a tutti,
qualcuno saprebbe dirmi cosa sia l'inviluppo superiore semicontinuo di funzioni semicontinue superiormente???
non riesco a trovare nulla a riguardo grazie mille.
su internet ho trovato solo la definizione per una funzione ma non per un insieme di funzioni.
grazie a tutti
qualcuno saprebbe dirmi cosa sia l'inviluppo superiore semicontinuo di funzioni semicontinue superiormente???
non riesco a trovare nulla a riguardo grazie mille.
su internet ho trovato solo la definizione per una funzione ma non per un insieme di funzioni.
grazie a tutti
Risposte
Mmmmm... Strana sta cosa.
Ho sempre sentito parlare di inviluppo superiore per funzioni s.c.i. e di inviluppo inferiore per funzioni s.c.s..
L'inviluppo inferiore [risp. superiore] di una famiglia $\mathcal{F}=\{ f\}$ di funzioni s.c.s. [risp. s.c.i.] è la funzione $F$ che assegna:
$F(x):= "inf"_(f \in \mathcal{F}) f(x) \quad$ [risp. $F(x):= "sup"_(f \in \mathcal{F}) f(x)$],
quindi è la più piccola [risp. grande] funzione s.c.s. [risp. s.c.i.] che minora [risp. maggiora] ogni elemento della tua famiglia.
In teoria, quindi, l'inviluppo superiore è la più piccola funzione s.c.s. che maggiora la tua famiglia; il problema è che non credo che si possa sempre definire un "buon" inviluppo superiore per funzion s.c.s. (mentre è sempre possibile costruire l'inviluppo inferiore).
Ho sempre sentito parlare di inviluppo superiore per funzioni s.c.i. e di inviluppo inferiore per funzioni s.c.s..
L'inviluppo inferiore [risp. superiore] di una famiglia $\mathcal{F}=\{ f\}$ di funzioni s.c.s. [risp. s.c.i.] è la funzione $F$ che assegna:
$F(x):= "inf"_(f \in \mathcal{F}) f(x) \quad$ [risp. $F(x):= "sup"_(f \in \mathcal{F}) f(x)$],
quindi è la più piccola [risp. grande] funzione s.c.s. [risp. s.c.i.] che minora [risp. maggiora] ogni elemento della tua famiglia.
In teoria, quindi, l'inviluppo superiore è la più piccola funzione s.c.s. che maggiora la tua famiglia; il problema è che non credo che si possa sempre definire un "buon" inviluppo superiore per funzion s.c.s. (mentre è sempre possibile costruire l'inviluppo inferiore).
perchè è sempre possibile costruire l'inviluppo inferiore di funzioni s.c.s????
Ci ho ragionato un po' ed ho tirato fuori un paio di controesempi sull'inviluppo superiore di funzioni s.c.s.; credo siano buoni, ma lascio giudicare chi ne sa più di me.
Ricordo che una funzione $f:RR to [-oo,+oo]$ è s.c.s. se e solo se:
$AA x_0 \in RR, maxlim_(xto x_0) f(x)<= f(x_0) \quad$;
inoltre tutte le funzioni continue sono s.c.s..
Detto questo, consideriamo la successione di funzioni di termine generale:
$f_n(x):=arctg(nx)$
e poniamo $f(x):="sup"_(n \in NN) f_n(x)$; evidentemente si ha:
$f(x)=\{(arctg x, ", se " x<=0),(pi/2 , ", se " x>0):}$
ed $f$ non è s.c.s. poichè risulta:
$maxlim_(x\to 0) f(x)=pi/2>0=f(0)$.
Quindi prendendo puntualmente il $"sup"$ di una famiglia di funzioni s.c.s. non sempre si riesce a determinare una funzione s.c.s..
Qui è ancora possibile definire l'inviluppo superiore di $(f_n)$, che dovrebbe essere la funzione $phi$ che assegna
$phi(x):=\{(arctgx , ", se " x<0),(pi/2, ", se " x>=0):} \quad$.
D'altra parte, sia $(x_n)$ un'enumerazione dei razionali di $[0,1]$ in cui ogni elemento $x_n=p_n/q_n$ è ridotto ai minimi termini; per ogni $n\in NN$, chiamiamo $g_n:[0,1] \to [-oo,+oo]$ la funzione che assegna:
$g_n(x):=\{ (0, ", se " x!= x_n),(p_n ,", se " x=x_n=p_n/q_n):}$
Gli elementi della successione $(g_n)$ sono s.c.s. (infatti sono continui in $RR\setminus \{ x_n\}$ ed in $x_n$ hai $maxlim_(x\to x_n) g_n(x)=0
Invece, prendendo l'$"inf"$ di una famiglia di funzioni s.c.s. si determina sempre una funzione s.c.s. (qui si tratta di applicare la definizione) la quale è, a ragione, la più grande delle funzioni s.c.s. che minorano la famiglia assegnata.
Ricordo che una funzione $f:RR to [-oo,+oo]$ è s.c.s. se e solo se:
$AA x_0 \in RR, maxlim_(xto x_0) f(x)<= f(x_0) \quad$;
inoltre tutte le funzioni continue sono s.c.s..
Detto questo, consideriamo la successione di funzioni di termine generale:
$f_n(x):=arctg(nx)$
e poniamo $f(x):="sup"_(n \in NN) f_n(x)$; evidentemente si ha:
$f(x)=\{(arctg x, ", se " x<=0),(pi/2 , ", se " x>0):}$
ed $f$ non è s.c.s. poichè risulta:
$maxlim_(x\to 0) f(x)=pi/2>0=f(0)$.
Quindi prendendo puntualmente il $"sup"$ di una famiglia di funzioni s.c.s. non sempre si riesce a determinare una funzione s.c.s..
Qui è ancora possibile definire l'inviluppo superiore di $(f_n)$, che dovrebbe essere la funzione $phi$ che assegna
$phi(x):=\{(arctgx , ", se " x<0),(pi/2, ", se " x>=0):} \quad$.
D'altra parte, sia $(x_n)$ un'enumerazione dei razionali di $[0,1]$ in cui ogni elemento $x_n=p_n/q_n$ è ridotto ai minimi termini; per ogni $n\in NN$, chiamiamo $g_n:[0,1] \to [-oo,+oo]$ la funzione che assegna:
$g_n(x):=\{ (0, ", se " x!= x_n),(p_n ,", se " x=x_n=p_n/q_n):}$
Gli elementi della successione $(g_n)$ sono s.c.s. (infatti sono continui in $RR\setminus \{ x_n\}$ ed in $x_n$ hai $maxlim_(x\to x_n) g_n(x)=0
Invece, prendendo l'$"inf"$ di una famiglia di funzioni s.c.s. si determina sempre una funzione s.c.s. (qui si tratta di applicare la definizione) la quale è, a ragione, la più grande delle funzioni s.c.s. che minorano la famiglia assegnata.
non capisco perchè $f(x)$ è uguale a $arctg(x)$ se $x<0$?
"miuemia":
non capisco perchè $f(x)$ è uguale a $arctg(x)$ se $x<0$?
Perchè, fissato $x<=0$, $(f_n(x))$ è una successione reale decrescente (rispetto a $n$): infatti essendo $arctgy$ crescente, si ha:
$(n+1)x<= nx \quad => \quad arctg (n+1)x <= arctg nx \quad$.
Ne viene che $f_1(x)=arctg x$ è maggiore o uguale ad ogni $f_n(x)$ per $x<=0$, quindi $"sup"_(n\in NN) f_n(x)=f_1(x)=arctgx$.
Ti trovi?
(Al massimo, se consideri $0 \in NN$, allora $f_0(x)=0$ può prendere il posto di $f_1(x)$; quindi avresti $f(x)=0$ per $x<=0$, ma la sostanza del discorso non cambierebbe... La $f$ continuerebbe a non essere s.c.s..)
Inoltre, ti rinnovo l'invito a prendere comunque tutto un po' cum grano salis finché non interviene qualcuno più ferrato di me sulla semicontinuità (tipo Fioravante, Luca.Lussardi o ViciousGoblin... In rigoroso ordine alfabetico
).
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