Inviluppo convesso di una funzione
Ciao, sto provando a calcolare l'inviluppo convesso di una funzione. Se non erro, lo si calcola praticamente calcolando due volte la trasformata di Legendre di una funzione. L'esempio classico è quello della funzione $f(x)=\frac{|x|^p}{p}$, la cui trasformata di Legendre si calcola semplicemente derivando $xy-f(x)$ e ottenendo $\bar{f}(y)=\frac{|y|^{p'}}{p'}$ con $p,p'$ esponenti coniugati e riapplicando lo stesso metodo alla trasformata si ottiene l'inviluppo. Stavo provando ora con la funzione $f(x)=(x^2-1)^2$ ma sto incontrando difficoltà, come potrei fare? Esiste un altro modo? Grazie
Risposte
Posta due conti.
La definizione di Trasformata di Legendre è data da $\bar{f}(y) = text(sup)_{x \in \mathbb{R}} xy - f(x)$, quindi come per $f(x)=\frac{x^p}{p}$, stavo calcolando $\frac{d}{dx}{xy-f(x)}$ per sostituire poi il valore di $y$ ottenuto nella definizione. Quindi $\frac{d}{dx}{xy-f(x)} = y - 4x(x^2-1) = 0$, da cui $y = 4x(x^2-1)$
Ora dovrei ricavare $x=h(y)$ una certa espressione dipendente da $y$ da sostituire in $xy - f(x)$ per ottenere la prima trasformata e procedere con la seconda trasformata, ma qui mi blocco.
Ora dovrei ricavare $x=h(y)$ una certa espressione dipendente da $y$ da sostituire in $xy - f(x)$ per ottenere la prima trasformata e procedere con la seconda trasformata, ma qui mi blocco.
Quindi stai calcolando la funzione coniugata, non l'inviluppo convesso, e ti blocchi…
Che cos'è l'inviluppo convesso di una funzione?
Che cos'è l'inviluppo convesso di una funzione?
Con $bar{f}$ indicavo $f$*, visto non mi faceva inserire il simbolo.
Comunque devo calcolare l'inviluppo convesso, non la funzione coniugata. L'inviluppo è il biduale di una funzione ovvero la Trasformata di Legendre della Trasformata di Legendre di una funzione, che posso vedere anche come
\begin{equation*}
{f}^{\ast \ast }\left(x\right)=\inf\left\{\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}f\left({x}_{i}\right): x= \sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}x_i,\hspace{1 mm} {\lambda }_{i} \geq 0 \quad e \quad \sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}=1 \right\}
\end{equation*}
Giusto?
In pratica, dovevo calcolare l'inviluppo di $f(x,y)=(y^2-1)^2+x^4$ e per fare questo volevo cercare di capire perchè l'inviluppo di $f(x)=(x^2-1)^2$ è $(x^2-1)^2$ se $|x|\geq 1$ e $0$ altrimenti.
Comunque devo calcolare l'inviluppo convesso, non la funzione coniugata. L'inviluppo è il biduale di una funzione ovvero la Trasformata di Legendre della Trasformata di Legendre di una funzione, che posso vedere anche come
\begin{equation*}
{f}^{\ast \ast }\left(x\right)=\inf\left\{\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}f\left({x}_{i}\right): x= \sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}x_i,\hspace{1 mm} {\lambda }_{i} \geq 0 \quad e \quad \sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}=1 \right\}
\end{equation*}
Giusto?
In pratica, dovevo calcolare l'inviluppo di $f(x,y)=(y^2-1)^2+x^4$ e per fare questo volevo cercare di capire perchè l'inviluppo di $f(x)=(x^2-1)^2$ è $(x^2-1)^2$ se $|x|\geq 1$ e $0$ altrimenti.
Il problema non è come si calcola: hai notato da solo che il tuo metodo di calcolo fallisce nel caso del double-well potential $f(x) = (x^2 - 1)^2$, quindi devi cambiare strada.
E torniamo lì:
cioè torniamo alla definizione.
E torniamo lì:
"gugo82":
Che cos'è l'inviluppo convesso di una funzione?
cioè torniamo alla definizione.
L'inviluppo convesso di $f$ è $text(sup) \{h(x) |h \text{ convessa}, h \leq f\}$.
E se fai un disegno non lo vedi subito qual è la più grande funzione convessa minore di $(x^2 - 1)^2$?
Ah ok, volevo cercare un procedimento rigoroso diciamo. Comunque ok, dal grafico per $|x|>1$ la funzione stessa va bene, ma per $|x|<1$? In questo intervallo ho praticamente una funzione concava
EDIT: pensandoci, può essere che sia per il fatto che una qualsiasi funzione concava in $(-1,1)$ sarebbe come una parabola del tipo $ax^2$ con $a>0$ quindi "scenderebbe sotto l'asse delle ascisse" e quindi l'unica possibilità è la funzione nulla?
EDIT: pensandoci, può essere che sia per il fatto che una qualsiasi funzione concava in $(-1,1)$ sarebbe come una parabola del tipo $ax^2$ con $a>0$ quindi "scenderebbe sotto l'asse delle ascisse" e quindi l'unica possibilità è la funzione nulla?
"fillippodepaolis94":
Ah ok, volevo cercare un procedimento rigoroso diciamo. Comunque ok, dal grafico per $|x|>1$ la funzione stessa va bene, ma per $|x|<1$? In questo intervallo ho praticamente una funzione concava
EDIT: pensandoci, può essere che sia per il fatto che una qualsiasi funzione concava in $(-1,1)$ sarebbe come una parabola del tipo $ax^2$ con $a>0$ quindi "scenderebbe sotto l'asse delle ascisse" e quindi l'unica possibilità è la funzione nulla?
Il grafico di $f^(** **)$ lo devi pensare come un elastico che avvolge il grafico di $f$.
Dove vede concavità un elastico cosa fa? Si “distende” cercando di “appiattire” la concavità rimanendo tangente al grafico di $f$ negli estremi (o in punti ad essi più vicini possibile) della zona concava[nota]Ed in questo modo minimizza un’energia… Ma questo è un discorso lungo.[/nota].
Per questo motivo, lì dove vedi la parte concava di estremi $(-1,0)$ e $(1,0)$, il grafico di $f^(** **)$ cerca di diventare una retta tangente al grafico di $f$ quanto più vicino possibile a tali due punti; visto che la tangente al grafico in $(+- 1,0)$ è la stessa e coincide con l’asse delle $x$, il grafico di $f^(** **)$ coincide con l’asse tra $-1$ ed $1$.
Per la parte formale, dammi il tempo di fare due conti.
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