Inviluppi
ciao a tutti, sto trovando difficoltà a comprendere la soluzione di un esercizio sugli inviluppi.
"trovare l'inviluppo delle rette che nel primo quadrante, incontrando l'asse $x$ e l'asse $y$, generano un triangolo di area $A$
dopo vari passaggi si ottiene che l'inviluppo è $xy=t$ e fino a qui ho capito.
la parte che non ho capito è un pezzo di un'osservazione successiva:
dato la retta tangente all'inviluppo $xy=t$ in $(x_0,y_0)$ mostriamo che l'area è costante:
la retta tangente è
$y-y_0=-t/(x_0)^2(x-x_0)$
e fino a qui ci sono; consideriamo ora:
se $x=0$ allora $y=2(y_0)$ e se $y=0$ allora $x=2(x_0)$
$[$perchè calcola tali intersezioni con gli assi cartesiani? non l'ho capito.$]$
e dunque
$xy=2(x_0)*2(y_0)=4(x_0)(y_0)=4t$ e dunque tale valore non dipende da $(x_0,y_0)$ e la tesi segue.
$[$ perchè la tesi segue da questo prodotto se si parlava di area costante? Non ho compreso il nesso logico.$]$
Grazie mille
"trovare l'inviluppo delle rette che nel primo quadrante, incontrando l'asse $x$ e l'asse $y$, generano un triangolo di area $A$
dopo vari passaggi si ottiene che l'inviluppo è $xy=t$ e fino a qui ho capito.
la parte che non ho capito è un pezzo di un'osservazione successiva:
dato la retta tangente all'inviluppo $xy=t$ in $(x_0,y_0)$ mostriamo che l'area è costante:
la retta tangente è
$y-y_0=-t/(x_0)^2(x-x_0)$
e fino a qui ci sono; consideriamo ora:
se $x=0$ allora $y=2(y_0)$ e se $y=0$ allora $x=2(x_0)$
$[$perchè calcola tali intersezioni con gli assi cartesiani? non l'ho capito.$]$
e dunque
$xy=2(x_0)*2(y_0)=4(x_0)(y_0)=4t$ e dunque tale valore non dipende da $(x_0,y_0)$ e la tesi segue.
$[$ perchè la tesi segue da questo prodotto se si parlava di area costante? Non ho compreso il nesso logico.$]$
Grazie mille
Risposte
Ciao Aletzunny,
Beh, perché
Quindi si sta riferendo al triangolo $OBC$ del primo quadrante, ove si intende che il punto $B$ sia l'intersezione con l'asse $x$ ed il punto $C$ sia l'intersezione con l'asse $y$
L'area $A$ del triangolo $OBC$ è data dal prodotto di $\bar{OB}$ per $\bar{OC}$ diviso per $2$, ma per mostrare che è costante basta evidentemente calcolare il prodotto $ bar{OB} \cdot bar{OC} $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui che c'è anche un'animazione chiarificatrice.
"Aletzunny":
[perchè calcola tali intersezioni con gli assi cartesiani? non l'ho capito.]
Beh, perché
"Aletzunny":
trovare l'inviluppo delle rette che nel primo quadrante, incontrando l'asse $x$ e l'asse $y$, generano un triangolo di area $A$
Quindi si sta riferendo al triangolo $OBC$ del primo quadrante, ove si intende che il punto $B$ sia l'intersezione con l'asse $x$ ed il punto $C$ sia l'intersezione con l'asse $y$
"Aletzunny":
dato la retta tangente all'inviluppo $xy=t$ in $(x_0,y_0)$ mostriamo che l'area è costante
L'area $A$ del triangolo $OBC$ è data dal prodotto di $\bar{OB}$ per $\bar{OC}$ diviso per $2$, ma per mostrare che è costante basta evidentemente calcolare il prodotto $ bar{OB} \cdot bar{OC} $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui che c'è anche un'animazione chiarificatrice.
"pilloeffe":
Ciao Aletzunny,
[quote="Aletzunny"][perchè calcola tali intersezioni con gli assi cartesiani? non l'ho capito.]
Beh, perché
"Aletzunny":
trovare l'inviluppo delle rette che nel primo quadrante, incontrando l'asse $x$ e l'asse $y$, generano un triangolo di area $A$
Quindi si sta riferendo al triangolo $OBC$ del primo quadrante, ove si intende che il punto $B$ sia l'intersezione con l'asse $x$ ed il punto $C$ sia l'intersezione con l'asse $y$
"Aletzunny":
dato la retta tangente all'inviluppo $xy=t$ in $(x_0,y_0)$ mostriamo che l'area è costante
L'area $A$ del triangolo $OBC$ è data dal prodotto di $\bar{OB}$ per $\bar{OC}$ diviso per $2$, ma per mostrare che è costante basta evidentemente calcolare il prodotto $ bar{OB} \cdot bar{OC} $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui che c'è anche un'animazione chiarificatrice.[/quote]
Chiarissimo, mi ero perso in bicchiere d'acqua!
Grazie mille per la risposta!
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