Invertibilità globale e locale

[Seneca1]

Sia $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ un aperto non troppo malvagio ed $f : \Omega \subset RR^2 -> RR^2$ , $ f \in C^1(\Omega)$, tanto per fissare le idee... Se supponiamo che la matrice jacobiana di $f$ abbia rango massimo in ogni punto di $\Omega$, si può concludere che $f$ è globalmente invertibile su $\Omega$?

Grazie in anticipo.

[regim]

No, per esempio $f=(x^2*y,x^2)$ definita in due cerchi aperti, simmetrici rispetto l'asse y, senza pero' intersecarlo.

[Paolo902]

In alternativa a quanto detto da regim, c'è il classico controesempio dal sapore geometrico (è collegato al fatto che $RR$ è il rivestimento universale di $\mathbb S^1$): considera la mappa definita su $RR^2$ che associa a $(x,y) \mapsto (e^xcos(y), e^x sin(y))$, che dovrebbe avere (controlla, sto andando un po' a memoria ) jacobiano $e^{2x}>0$ per ogni $(x,y) \in \RR^2$. Quindi questo è un esempio di una roba localmente invertibile in ogni punto, ma non globalmente (non è iniettiva, è periodica).

In generale, di risultati sull'invertibilità globale se ne conoscono pochi (credo); se ti serve, sul Cecconi-Stampacchia (vol.2) trovi qualcosa, un teorema di invertibilità globale dovuto a De La Vallée-Poussin.

[Sk_Anonymous]

Prova a dare un'occhiata anche a A Primer of Nonlinear Analysis di Ambrosetti e Prodi, capitolo 3.

[Seneca1]

Giustissimo. Vi ringrazio per le risposte.