Invertibilità ed esistenza di un limite
Buonasera a tutti!
Vorrei sapere se il ragionamento che vi illustro di seguito è corretto. Lo illustro in breve per rendere l'idea...
Ho una certa funzione [tex]L[/tex] continua e derivabile e so che è decrescente, quindi è invertibile. Dal fatto che: [tex]\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}L(x(t,x_0))=\alpha\in\mathbb{R}[/tex] posso dedurre che esiste (finito o infinito) il limite: [tex]\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)[/tex]? Sfruttando la continuità e l'invertibilità della [tex]L[/tex] scriverei: [tex]\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}L(x(t,x_0))=L\Big(\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)\Big)=\alpha \quad \Rightarrow \quad \lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)=L^{-1}(\alpha)[/tex].
Il ragionamento è corretto?
Attendendo una vostra risposta, vi ringrazio in anticipo.
Vorrei sapere se il ragionamento che vi illustro di seguito è corretto. Lo illustro in breve per rendere l'idea...
Ho una certa funzione [tex]L[/tex] continua e derivabile e so che è decrescente, quindi è invertibile. Dal fatto che: [tex]\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}L(x(t,x_0))=\alpha\in\mathbb{R}[/tex] posso dedurre che esiste (finito o infinito) il limite: [tex]\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)[/tex]? Sfruttando la continuità e l'invertibilità della [tex]L[/tex] scriverei: [tex]\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}L(x(t,x_0))=L\Big(\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)\Big)=\alpha \quad \Rightarrow \quad \lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)=L^{-1}(\alpha)[/tex].
Il ragionamento è corretto?
Attendendo una vostra risposta, vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Mi pare proprio di sì.
Secondo me no, e sebbene di solito quando contraddico ciampax sbaglio, voglio comunque proporre il mio controesempio 
Sia [tex]L : [1; +\infty) \to \mathbb{R} : x \to -e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]; [tex]L \in C^\infty([1;+\infty))[/tex], [tex]L[/tex] decrescente nel suo dominio.
Sia [tex]x(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x(t) = \begin{cases}t & t \in \mathbb{Q} \\ -t & t \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases}[/tex].
Si ha [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} L(x(t)) = \lim_{t \to +\infty} -e^{-\frac{1}{x(t)^2}} = -1[/tex]
Ma [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} x(t)[/tex] non esiste.
Sia [tex]L : [1; +\infty) \to \mathbb{R} : x \to -e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]; [tex]L \in C^\infty([1;+\infty))[/tex], [tex]L[/tex] decrescente nel suo dominio.
Sia [tex]x(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x(t) = \begin{cases}t & t \in \mathbb{Q} \\ -t & t \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases}[/tex].
Si ha [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} L(x(t)) = \lim_{t \to +\infty} -e^{-\frac{1}{x(t)^2}} = -1[/tex]
Ma [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} x(t)[/tex] non esiste.
"Raptorista":
Si ha [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} L(x(t)) = \lim_{t \to +\infty} -e^{-\frac{1}{x(t)^2}} = -1[/tex]
Sarà che a quest'ora sono completamente fusa, ma come l'hai calcolato questo limite?
Forse si può dire che se [tex]$\exists \lim_{t \to + \infty} x(t,x_0)$[/tex] allora esso è uguale a [tex]$L^{-1}(\alpha)$[/tex].
"Zilpha":
Sarà che a quest'ora sono completamente fusa, ma come l'hai calcolato questo limite?
Se [tex]t \to +\infty[/tex] allora [tex]x(t)^2 \to +\infty[/tex] e quindi [tex]\frac{1}{x(t)^2} \to 0^+[/tex], ma allora [tex]e^{-\frac{1}{x(t)^2}} \to 1[/tex] e la funzione tende a [tex]-1[/tex].
"Antimius":
Forse si può dire che se [tex]$\exists \lim_{t \to + \infty} x(t,x_0)$[/tex] allora esso è uguale a [tex]$L^{-1}(\alpha)$[/tex].
Forse, su questo non so dire niente.
"Raptorista":
[quote="Zilpha"]Sarà che a quest'ora sono completamente fusa, ma come l'hai calcolato questo limite?
Se [tex]t \to +\infty[/tex] allora [tex]x(t)^2 \to +\infty[/tex] e quindi [tex]\frac{1}{x(t)^2} \to 0^+[/tex], ma allora [tex]e^{-\frac{1}{x(t)^2}} \to 1[/tex] e la funzione tende a [tex]-1[/tex].[/quote]
-_- scusa la scemenza che ho detto, ma mi ero persa un quadrato!
Forse dimenticavo una precisazione importante: la funzione [tex]x(t,x_0)[/tex] è continua...
La funzione [tex]x[/tex] proposta da Raptorista non mi sembra continua...
La funzione [tex]x[/tex] proposta da Raptorista non mi sembra continua...
"Andrea90":
Forse dimenticavo una precisazione importante: la funzione [tex]x(t,x_0)[/tex] è continua...
La funzione [tex]x[/tex] proposta da Raptorista non mi sembra continua...
Beh, sai com'è, non è un dettaglio da poco la continuità!
Se cambi così le carte in tavola allora penso che il tuo ragionamento sia corretto a grandi linee, e forse puoi cercare di dimostrarlo sfruttando le definizioni di limite.
Ma visto che tu mi fai gli scherzi, allora io faccio il puntiglioso dicendo che se il limite di [tex]x[/tex] esiste allora non può essere infinito perché altrimenti avresti [tex]L^{-1}(\alpha) = \infty[/tex], il che presuppone o qualche accorgimento particolare su [tex]L[/tex], come ad esempio [tex]L : A \to \mathbb{R}^*[/tex].
Ad esempio se fosse [tex]L(x) = e^{-x}[/tex], [tex]L^{-1}(u) = \log (u)[/tex] e [tex]x(t) = t[/tex] si avrebbe [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} L(x(t)) = 0[/tex], [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} x(t) = +\infty[/tex] ma allora dovrebbe essere [tex]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} x(t) = \log(0)[/tex].
Consiglio di riparare mettendo un operatore di limite nel posto giusto.
Allora: il problema è che in una dimostrazione si prova che il limite [tex]\lim_{t\rightarrow +\infty}x(t,x_0)=x*[/tex] senza sapere a priori che tale limite esiste. In sostanza, si prova che se tale limite esiste allora vale [tex]x*[/tex] ma né nelle ipotesi, né nel corso della dimostrazione si garantisce l'esistenza del limite suddetto.
A questo punto le cose sono due:
1) La dimostrazione proposta dall'autore va bene;
2) oppure l'unico modo per arrivare alla conclusione è percorrere la strada che ho proposto con le dovute modifiche... tuttavia ancora non ho capito quale potrebbe essere il problema nel mio ragionamento.
Quindi stiamo assumendo già l'esistenza del limite come ipotesi...
Spero di essere stato chiaro!
A questo punto le cose sono due:
1) La dimostrazione proposta dall'autore va bene;
2) oppure l'unico modo per arrivare alla conclusione è percorrere la strada che ho proposto con le dovute modifiche... tuttavia ancora non ho capito quale potrebbe essere il problema nel mio ragionamento.
se il limite di x esiste allora non può essere infinito
Quindi stiamo assumendo già l'esistenza del limite come ipotesi...
Spero di essere stato chiaro!
Penso che il risultato sia vero, e non serve la continuità di $x$ in $t$ (per semplicità di notazione dimentico $x_0$). Mi pare che si debba usare questo lemmino di analisi 1: se $L$ è continua e decrescente allora [tex]\limsup_{t\to+\infty}L(x(t))=L(\liminf_{t\to+\infty}x(t))[/tex], e analogamente [tex]\liminf_{t\to+\infty}L(x(t))=L(\limsup_{t\to+\infty}x(t))[/tex]. Ne segue che [tex]L(\liminf_{t\to+\infty}x(t))=L(\limsup_{t\to+\infty}x(t))[/tex], per cui [tex]\liminf_{t\to+\infty}x(t)=\limsup_{t\to+\infty}x(t)=L^{-1}(\alpha)[/tex], che vuol dire [tex]\lim_{t\to+\infty}x(t)=L^{-1}(\alpha)[/tex].
Faccio poi osservare dove non funziona il controesempio di Raptorista: la composizione $L(x(t))$ non ha senso per le scelte effettuate, in quanto $L$ è definita solo in $[1,+\infty)$ mentre $x$ assume valori anche al di fuori di tale intervallo.
Faccio poi osservare dove non funziona il controesempio di Raptorista: la composizione $L(x(t))$ non ha senso per le scelte effettuate, in quanto $L$ è definita solo in $[1,+\infty)$ mentre $x$ assume valori anche al di fuori di tale intervallo.
Perfetto.. quindi per la continuità di [tex]L[/tex] e per quella di [tex]x[/tex] posso affermare che esiste finito il limite di [tex]x[/tex] per [tex]t \rightarrow +\infty[/tex]. Giusto?
Non serve la continuità di $x$. La funzione $x$ ammette limite finito per $t \to +\infty$ e tale limite vale $L^{-1}(\alpha)$.
Ok. In sostanza, il fatto che il limite sia finito discende dalla continuità di [tex]L^{-1}[/tex] in [tex]\alpha[/tex]?
Discende dalla continuità di $L$ e dall'invertibilità di $L$.
Ok perfetto! Tutto chiaro!
Ti ringrazio per il prezioso aiuto!
Ti ringrazio per il prezioso aiuto!
Ieri sera ero troppo cotto per mettermi a spiegare il perché e il percome il procedimento di Andrea andasse bene. Grazie a Luca che lo ha fatto per me. 
@Raptorista: sai che quel controesempio mi intriga?
@Raptorista: sai che quel controesempio mi intriga?
"ciampax":
@Raptorista: sai che quel controesempio mi intriga?
Magari ti intrigherà, ma ciò non toglie che io abbia sbagliato ancora una volta...
Grazie Luca, +1 come al solito
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