Invertibilità e derivata della funzione inversa
Buonasera a tutti!
Ho delle perplessità riguardanti il seguente esercizio:
"Stabilire se la seguente funzione è invertibile nel suo dominio e in caso affermativo calcolare, se esiste, la derivata della funzione inversa nel punto indicato: $f(x)=sin(x/(|x|+1))+2x$, $y=1+sin(1/3)$".
Conosco la regola di derivazione delle funzioni inverse, ma il problema riguarda l'invertibilità della funzione. Ho provato a calcolare la derivata prima, in modo da studiarmi la monotonia (e un intervallo di monotonia sarebbe anche un intervallo di invertibilità), ma lo studio del segno di tale derivata è tutt'altro che agevole. C'è qualche altro metodo?
Fra l'altro dovrei trovare $x$ (un unico valore) in modo che sia $1+sin(1/3)=sin(x/(|x|+1))+2x$, e non credo che tale equazione sia facilmente risolubile.
Avete qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho delle perplessità riguardanti il seguente esercizio:
"Stabilire se la seguente funzione è invertibile nel suo dominio e in caso affermativo calcolare, se esiste, la derivata della funzione inversa nel punto indicato: $f(x)=sin(x/(|x|+1))+2x$, $y=1+sin(1/3)$".
Conosco la regola di derivazione delle funzioni inverse, ma il problema riguarda l'invertibilità della funzione. Ho provato a calcolare la derivata prima, in modo da studiarmi la monotonia (e un intervallo di monotonia sarebbe anche un intervallo di invertibilità), ma lo studio del segno di tale derivata è tutt'altro che agevole. C'è qualche altro metodo?
Fra l'altro dovrei trovare $x$ (un unico valore) in modo che sia $1+sin(1/3)=sin(x/(|x|+1))+2x$, e non credo che tale equazione sia facilmente risolubile.
Avete qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Non conosco altro modo che quello descritto da te, inoltre, per [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] si risolve? Se non errassi sì!
Non mi sembra che la derivata sia così complicata da studiare: scrivimi la derivata che hai trovato tu.
Mettiamoci nel caso in cui $x>=0$: risulta $f'(x)=1/(x+1)^2cos(x/(x+1))+2$...
Ci manca un "-1"
"j18eos":
Ci manca un "-1"
Dove?
La scrivo [tex]$f'(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\cos\bigg(\frac{x}{x+1}\bigg)+2$[/tex]
Ne sei convinto? Non mi sembra la derivata sia quella... o forse sto dando i numeri! La funzione è [tex]f(x)=\sin\big(\frac{x}{|x|+1}\big)+2x[/tex]...
Ho messo i puntini sospensivi, la scrivo completamente!
Ma la derivata di [tex]g(x)=\frac{x}{x+1}[/tex] non è forse [tex]g'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}[/tex]?
"Andrea90":
Ma la derivata di [tex]g(x)=\frac{x}{x+1}[/tex] non è forse [tex]g'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}[/tex]?
Certamente.
E allora, di conseguenza, la mia [tex]f'(x)[/tex] dovrebbe essere corretta. Ad ogni modo, non è un segno meno che in questo caso fa la differenza! Studiare il segno della derivata prima non è semplice in ogni caso!
Ho studiato il segno della derivata... è sempre positivo perchè somma di quantità positive; in particolare il coseno in oggetto è sempre positivo [tex]\forall x>0[/tex]. Analoghi discorsi se [tex]x<0[/tex].
Come mi occupo invece della derivata della funzione inversa? Dovrei trovare [tex]x[/tex] tale che [tex]f(x)=1+\sin(\frac{1}{3})[/tex], ma come faccio?
Come mi occupo invece della derivata della funzione inversa? Dovrei trovare [tex]x[/tex] tale che [tex]f(x)=1+\sin(\frac{1}{3})[/tex], ma come faccio?
Si è quella la derivata.
P.S. studi informatica a Catania?
P.S. studi informatica a Catania?
Ehm... no! Perché?
No niente, scusa la domanda off-topic, un sospetto mio..
Ok! Riguardo l'esercizio, come calcolo la derivata della funzione inversa? Conosco chiaramente la regola (!) ma qui il problema consiste nel risalire al valore di [tex]x[/tex] di cui ho parlato prima... Non saprei...
"Andrea90":
Ok! Riguardo l'esercizio, come calcolo la derivata della funzione inversa? Conosco chiaramente la regola (!) ma qui il problema consiste nel risalire al valore di [tex]x[/tex] di cui ho parlato prima... Non saprei...
Mi pare che il secondo post già suggerisse di prendere $x=1/2$ ...
Ma devo andarci ad intuito?
"Andrea90":
Ma devo andarci ad intuito?
Credo di sì - in un caso del genere e' abbastanza chiaro che l'inversa non si riesce a scrivere in termini di funzioni elementari quindi l'unico modo e' di trovare il punto a occhio.
Peraltro se speri che $2x=1$ trovi $x=1/2$ dopo di che provi a mettere $x=1/2$ dentro il seno e vedi che viene.
Ah ok! Infatti, l'avevo dedotto! Grazie di tutto!
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