Invertibilità di una funzione!

[soeca-votailprof]

Ragazzi avrei un dubbio su una funzione!!l'esercizio è il seguente: data la funzione $f(x): = e^(1/x)sqrt(x-1) $ dire se è invertibile nell'intervallo $ [ 1 , + oo [ $ ed eventualmente trovare il dominio della funzione inversa. il mio dubbio è il seguente: dalla teoria fatta so che un'applicazione del teorema di Lagrange(il criterio di monotonia) dice che data una funzione definita in un intervallo e derivabile, la funzione sarà monotona non decrescente se e solo se $ f'(x) >=0$. Io ho studiato questa funzione e nell'intervallo $[ 1 +oo[$ non è derivabile, mentre lo è in $] 1 +oo [ $ questo mi basta per dire che la funzione non è invertibile o devo studiarmi la monotonia in un altro modo??Grazie a tutti.

[blackbishop13]

guarda meglio il teorema di Lagrange, cosa richiede tra le ipotesi sulla derivabilità della funzione?.

comunque quella funzione è invertibile, cerca di dimostrarlo.

[soeca-votailprof]

Allora riporto ciò che c'è scritto negli appunti del prof. "Conseguenze del teorema di Lagrange: 2° Applicazione del teorema di Lagrange: Supponiamo sia $f(x) : (a,b) ->R $ ; supponiamo che f(x) sia derivabile allora CNS(condizione necessaria e sufficiente) affinchè f sia monotòna non decrescente è che $ f'(x)>= 0 AA x in (a,b) $. Ovviamente sono sicuro che è invertibile( altrimenti il prof non avrebbe fatto nel compito un esercizio dedicato solo all'invertibilità) però non mi spiego come possa esserlo se nel punto 1 ho una cuspide!!

[blackbishop13]

appunto, a te basta studiare la funzione su un aperto, e verificare che lì è monotona.

poi sul punto di frontiera, la funzione si estende con continuità quindi non hai problemi.

inizia a trovare la derivata e studiarla.

[soeca-votailprof]

La derivata è: $e^(1/x)/(2 sqrt(x-1))-(e^(1/x) sqrt(x-1))/x^2 $ se faccio il limite per x-> 1dalla destra ottengo $+oo$ quindi la derivata non è prolungabile in 1 giusto? ottengo quindi un punto di cuspide!!questo non vuol dire che la derivata nel punto 1 non esiste???Preciso che non voglio passare per presuntuoso ma solamente voglio capire meglio questi teoremi che a quanto pare non ho capito bene!!

[indovina]

@Soeca.
Ho appena fatto la derivata prima e a me vengono questi calcoli, non so se ti trovi con me.

$f'(x)=(-1/x^2)*(e^(1/x))*(sqrt(x-1))+(e^(1/x))*(1/(2*sqrt(x-1)))$

$f'(x)=(e^(1/x))*(((-1/x^2)*2*(x-1))+1)/(2*sqrt(x-1))$

non c'è nessun punto critico

e la funzione sembra essere sempre monotona crescente.

[Gi81]

@soeca: Devi dimostrare che in $(1,+oo)$ $f'(x)>=0$
Prova a fare il denominatore comune e a semplificare il numeratore... avrai una bella sorpresa

[soeca-votailprof]

"clever":@Soeca.
Ho appena fatto la derivata prima e a me vengono questi calcoli, non so se ti trovi con me.

$f'(x)=(-1/x^2)*(e^(1/x))*(sqrt(x-1))+(e^(1/x))*(1/(2*sqrt(x-1)))$

$f'(x)=(e^(1/x))*(((-1/x^2)*2*(x-1))+1)/(2*sqrt(x-1))$

non c'è nessun punto critico

e la funzione sembra essere sempre monotona crescente.

Come non c'è nessun punto critico! e il punto 1??il limite esiste e vale +infinito quindi nel punto 1 non devo considerare la derivata perchè è un punto a tg verticale no??PS ho fatto la derivata in $(1,+oo)$ e la funzione è sempre crescente!sbaglio???

[indovina]

Io intendevo come punto critico, un 'presunto' punto di massimo, minimo o punto stazionario.
In effetti, in $1$ non sarebbe derivabile.
L'insieme di definizione della derivata è $x-1>0$
Punto a tangente verticale, concordo.

[blackbishop13]

ragazzi attenti a non confondervi uno con l'altro..

certo che c'è il punto di minimo, la funzione è definita in $[1,+infty]$ ed è crescente, come fa a non esserci minimo...
può darsi che abbia massimo o no, bisogna verificarlo. ma il minimo di sicuro.

[soeca-votailprof]

Si ma il punto della questione non è sapere se c'è un minimo o un massimo!!ma capire perchè: "se la derivata in 1 non esiste perchè mi chiede di farla??? "