Invertibilità di una funzione

[marktrix]

Ciao qualcuno mi può spiegare questo esercizio?

$f(x):$
$1/x -2 $ $x<=-1$
$(x+a)^3$ $x>-1$


perchè è invertibile per $(a-1)^3 >=-2$?

come devo procedere?

[marktrix]

help!!

[_Tipper]

Una funzione $f$ è invertibile in un intervallo $I$ se e solo se in quell'intervallo è strettamente monotona (crescente o decrescente). A te i conti.

[marktrix]

"marktrix":Ciao qualcuno mi può spiegare questo esercizio?

$f(x):$
$1/x -2 $ $x<=-1$
$(x+a)^3$ $x>-1$

non so come si procede per questo tipo di esercizi in cui mi chiede il valore di a per cui sia invertibile.

mi potresti far vedere come si procede?

grazie

[_Tipper]

Magari mi sbaglio, ma a me quella funzione sembra invertibile ovunque... voglio dire la derivata vale:

$f'(x)=\{(-\frac{1}{x^2}, "se " x \le -1),(3(x+a)^2, "else"):}$

Ora per $x \le -1$ la funzione è monotona decrescentem perché $-\frac{1}{x^2}$ è sempre negativo, quindi in questa zona è invertibile.

Per $x >(-1)$ si ha che $3(x+a)^2$ è sempre positivo se $a \ne -x$, e in queste ipotesi la funzione in questa zona sarebbe monotona crescente e ancora invertibile.

[marktrix]

Io leggo che f è invertibile se e solo se $(a-1)^3>=-2$ e sinceramente non capisco..

[_luca.barletta]

sì, bisogna imporre anche quello, hai che $lim_(xrarr-infty)f(x)=-2$ e f(x) decrescente per x<-1, quindi devi imporre che
$f(x)>\-2$ per ogni x>-1
in particolare essendo f(x) sempre crescente per x>-1 allora ti basta porre
(-1+a)^3>=-2