Invertibilità di una funzione

[lallir]

Salve,
Ho un problema nel dimostrare che la funzione $f(x)=1/(4-x^16)$ è invertibili in un intorno di meno infinito.
Ovviamente il dominio della funzione è $ dom(f)=(-\infty,-root(8)(2))uu (-root(8)(2),root(8)(2)) uu (root(8)(2),+\infty) $
Dal dominio deduco che l'intorno di meno infinito in cui la funzione sarà invertibile è al massimo $(-\infty,-root(8)(2))$ sempre che sia iniettiva.
Devo dimostrarlo senza l'uso delle derivate.
$ AA x_1,x_2 \in (-\infty,-root(8)(2)), \ x_1!= x_2 rArr f(x_1)!=f(x_2) $
$1/(4-x_1^16)!=1/(4-x_2^16)$
Svolgendo i calcoli si arriva a
$x_1!=|x_2|$ Essendo in un intorno negativo $x_1!=-x_2$
Cosa sto sbagliando?

[Antimius]

$x_1^{16} \ne x_2^{16}$ implica che $|x_1| \ne |x_2|$. In particolare, anche $x_1 \ne x_2$.
Forse al contrario lo vedi meglio: se $x_1 = x_2$ allora ...

[lallir]

Non vorrei dire scemenze ma allora qual'è la differenza nel risolvere $x^2-y^2=0$ che ha come soluzione$y=+-x$ ?
Mi sfugge qualcosa?

[Antimius]

$x^2-y^2=0$ se e solo se $y=x$ oppure $y=-x$. Detto in altri termini, $x^2-y^2 \ne 0$ se e solo se $y\ne x$ e $y \ne -x$.

[lallir]

Scusami ancora.
Sinceramente non ho capito il perché di

$x^16_1!=x^16_2$ implica che $|x1|!=|x2|$

Posso vederlo come $x_1!=|x_2| rArr x_1!=x_2 ^^ x_1!=-x_2$ ?
Ho un altro dubbio: così facendo la definizione non tiene conto dell'intorno di meno infinito in cui è iniettiva o sbaglio?

[Antimius]

In realtà quel passaggio puoi anche saltarlo. L'avevo messo perché credevo che sarebbe stato più chiaro così.
Puoi dire direttamente che $x_1 \ne x_2$.
Secondo me, se ti confondono con le disuguaglianze, ti conviene andare nel senso inverso:
$x_1 = x_2 \Rightarrow x_1^{16} = x_2^{16}$