Invertibilità

[chess71]

Sia data la funzione:
$f(x)= {(x-alpha,if x<=0),(|beta-x^2|,if x>0):}$
Determinare il valore dei due parametri in modo che la funzione risulti invertibile.

Vorrei procedere imponendo che la funzione sia continua e strettamente monotona.
La condizione di continuità implica $|beta|+alpha=0$, da cui $alpha$ deve essere negativa.
Per la stretta monotonia non so come chiudere, so solo che deve essere strettamente crescente

[dissonance]

E perché deve essere continua? Non è questo che ti serve. Tu vuoi che la funzione sia ingettiva e forse (dipende dalla tua definizione di funzione invertibile) che sia anche surgettiva. Se scrivi la definizione di "funzione invertibile" a cui ti riferisci possiamo riparlarne.

[Plepp]

Salve chess
[Premessa: utilizzo la definizione per cui $f$ è invertibile ssse $f$ è iniettiva]

"chess71":
Vorrei procedere imponendo che la funzione sia continua e strettamente monotona.

Questa è una condizione sufficiente, ma non necessaria (pensa ad esempio a una funzione fatta così:
\[
\phi(x)=
\begin{cases}
x&\text{se}\ x\leq 0\\
e^{-x}&\text{se}\ x> 0
\end{cases}
\]
che non è né monotona, né continua ovunque).

Quel che non ho capito è se a te servono due particolari valori di $\alpha$ e $\beta$ o se vuoi determinare le condizioni da imporre ai due parametri per avere una funzione invertibile.

EDIT: ah, in ogni caso, per la continuità dev'essere $\beta=\pm \alpha$, non basta che sia $\alpha<0$.

[chess71]

Le mie nozioni su invertibilità prevedono iniettività e suriettività. Il quesito richiede di determinare i valori dei parametri per cui la funzione risulti invertibile (risultato $alpha=beta$, con $beta<0$).

[chess71]

Ho trovato un quesito simile, risolto per via grafica considerando le funzioni elementari che costituivano la funzione.
Il metodo (e quello mi interessava) adesso mi è chiaro. Riguardo la invertibilità, credo che il quesito richieda la sola iniettività.