Invertibilità

[Cristina_Cri]

Ciao =)

Mi potreste gentilmente spiegare come si dimostra che questa funzione è invertibile nel suo dominio?

$f(x)={(e^x)−1$ per $-1<=x<=0$
----------${sqrt(x)$ per $0


Grazie mille

[Mino_01]

Buona sera Cristina

Non è molto difficile.
osserva che una funzione strettamente monotona è invertibile.

Quindi
L' esponenziale è strettamente monotona.
Una funzione strettamente monotona + una costante è strettamente monotona;
La estrazione di radice è strettamente monotona;

Da cui l' asserto.

Ciao
Mino

[porzio1]

è una funzione strettamente crescente
inoltre,in $[-1,0]$ assume tutti i valori dell'intervallo $[1/e-1,0]$,in$(0,2]$ tutti i valori dell'intervallo $(0,sqrt2]$

[Cristina_Cri]

Grazie =)

[gugo82]

"Mino_01":Non è molto difficile.
osserva che una funzione strettamente monotona è invertibile.

Quindi
L' esponenziale è strettamente monotona.
Una funzione strettamente monotona + una costante è strettamente monotona;
La estrazione di radice è strettamente monotona;

Da cui l' asserto.

Falso.

Ad esempio, la funzione simile a quella assegnata:
\[
g(x) := \begin{cases} e^x -1 &\text{, se } -1\leq x\leq 0\\
\sqrt{x}-1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
non è invertibile.

Allora come si fa?
Beh, oltre a constatare che ogni tratto della tue funzione è monotòno, devi anche guardare se la funzione è globalmente monotòna (cioé monotòna in tutto il suo insieme di definizione).
Orbene, nel tuo caso, la \(f\) è globalemente monotòna nel suo insieme di definizione, dunque è effettivamente invertibile.
Mentre nel controesempio alle incaute affermazioni di Mino_91 proposto sopra, la \(g\), pur essendo composta da due rami monotòni, non è globalmente monotòna nel suo insieme di definizione, e perciò non è invertibile.

[Mino_01]

gugo82
Perfetto!

Ma sono talvolta impreciso o incompleto volutamente soltanto per far pensare un po ....
credo che la cosa possa essere così anche istruttiva.
Non Credi?

[Cristina_Cri]

Nell'esercizio avevo scritto come gugo, però non sapevo se valutare la funzione globalmente o a "pezzi" così ho deciso di chiedere qui.
Ora è tutto chiaro grazie mille a tutti