Inversione di due limiti

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto che, se \(Q_m\) è un polinomio di grado $n+1$ senza zeri reali e $P_n$ un polinomio di grado $n$, l'integrale nel senso di valore principale, $\text{PV}$, di Cauchy esiste e vale\[\text{PV}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \text{d}x=\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \text{d}x=\lim_{R\to+\infty}\Big(\lim_{a\to 0}\int_{-R}^{R}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cos(ax)\text{d}x\Big)\]\[=\lim_{a\to 0}\Big(\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cos(ax)\text{d}x\Big)=\lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\cos(ax) \text{d}x\]
La dimostrazione dell'esistenza dell'ultimo membro e dell'uguaglianza con il penultimo viene fornita dal testo, ma ciò che non riesco a capire è che cosa legittimi l'inversione dei due limiti tra la prima e la seconda riga.
Per il teorema di inversione dei limiti direi che ci sarei se potessi verificare che $\int_{-k}^{k}(P_n(x))/(Q_m(x))\cos(ax)\text{d}x$ converge uniformemente per $k\to\infty$ come successione di funzioni di $a$ in qualche intorno di 0, ma non so come vedere questa cosa...
Qualcuno ne sa di più?
$\infty$ grazie a tutti!!!