Inversione dell'ordine di derivazione

[J3rry]

Ho da poco studiato il teorema dell'inversione dell'ordine di derivazione di Clairaut-Schwarz e viene usato per mostrare che l'Hessiana di una funzione $C^2$ è simmetrica, mi chiedevo, ha altre importanti applicazioni il teorema?

[feddy]

Beh, siccome ti permette di applicare il teorema spettrale e tutte le sue conseguenze, è certamente fondamentale non solo per la ricerca di massimi e minimi, ma anche in tutti gli altri contesti (analisi numerica, ottimizzazione, ...) in cui si ha a che fare con un'Hessiana e valgono le sue ipotesi.

[megas_archon]

Un motivo piu ad alto livello è che il teorema di Schwarz afferma che una serie di operatori differenziali sono a due a due commutanti; questo diventa importante, e non scontato, quando fai analisi sulle varietà e non in \(\mathbb R^n\). Le derivazioni lungo gli assi coordinati sono i generatori infinitesimali del gruppo delle traslazioni (la derivata lungo \(e_i\) si associa alla traslazione di \(e_i\)).