Inversione del teorema di chiusura per successioni
Enuncio il teorema di chiusura per successioni:
Sia $B$ un insieme chiuso contenuto nello spazio topologico $X$ e sia ${x_n} sub B$.
Allora $lim_(n to +oo) x_n = bar x rArr bar x in B$.
La dimostrazione è semplice. In generale questo teorema non si inverte, quindi se so che ogni successione tutta contenuta in $B$ ammette limite anch'esso contenuto in $B$ non posso affermare che $B$ sia chiuso... la topologia di Zarinski ne è una semplice prova. L'inversione è possibile, però, se $X$ è I contabile. Vorrei dimostrare l'inverso di questo teorema ma non ci riesco. Qualcuno che mi può dare un input, magari senza postare l'intera dimostrazione? Il problema è che non mi viene in mente un modo per sfruttare la numerabilità di ogni sistema fondamentale di intorni di $X$.
Sia $B$ un insieme chiuso contenuto nello spazio topologico $X$ e sia ${x_n} sub B$.
Allora $lim_(n to +oo) x_n = bar x rArr bar x in B$.
La dimostrazione è semplice. In generale questo teorema non si inverte, quindi se so che ogni successione tutta contenuta in $B$ ammette limite anch'esso contenuto in $B$ non posso affermare che $B$ sia chiuso... la topologia di Zarinski ne è una semplice prova. L'inversione è possibile, però, se $X$ è I contabile. Vorrei dimostrare l'inverso di questo teorema ma non ci riesco. Qualcuno che mi può dare un input, magari senza postare l'intera dimostrazione? Il problema è che non mi viene in mente un modo per sfruttare la numerabilità di ogni sistema fondamentale di intorni di $X$.
Risposte
per assurdo?
suppongo che...
e sfrutto una famiglia numerabile di intorni del punto (ci sarà un punto che infastidice no?) per costruirmi una successione t.c. ...
è uno schema classico, guardando le cose "da lontano"
se poi funge, non so (dico sul serio)
ma, come archetipo di tecnica dimostrativa smbra essere quello evocato dal contesto che descrivi
suppongo che...
e sfrutto una famiglia numerabile di intorni del punto (ci sarà un punto che infastidice no?) per costruirmi una successione t.c. ...
è uno schema classico, guardando le cose "da lontano"
se poi funge, non so (dico sul serio)
ma, come archetipo di tecnica dimostrativa smbra essere quello evocato dal contesto che descrivi
Ho provato a ragionare per assurdo, negando la tesi e vedendo che implicazioni ciò può avere (implicazioni che dovrebbero rivelarsi contraddittorie con le ipotesi). La tesi è che $B$ è chiuso, ma negare ciò non ha alcuna implicazione rilevante... non posso nemmeno concludere che il suo complementare è un chiuso...
Facevo inoltre questa riflessione: il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$, dato che posso sempre trovare un indice $nu$ (numero naturale) oltre il quale gli elementi della successione sono contenuti in un intorno di $x_0$? è questa dunque la proprietà fondamentale di un insieme che è I contabile?
Facevo inoltre questa riflessione: il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$, dato che posso sempre trovare un indice $nu$ (numero naturale) oltre il quale gli elementi della successione sono contenuti in un intorno di $x_0$? è questa dunque la proprietà fondamentale di un insieme che è I contabile?
"Kroldar":
La tesi è che $B$ è chiuso, ma negare ciò non ha alcuna implicazione rilevante... non posso nemmeno concludere che il suo complementare è un chiuso...
Un insieme chiuso è costituito dall'insieme dei suoi punti aderenti.
def: un punto x è aderente ad un insieme A se per ogni intorno $U_x$ di x, si ha $U_x \cap A$ diverso dal vuoto.
Prova a dimostrare questo (è un pò il complementare di: un insieme è aperto sse è intorno di ogni suo punto).
E poi per usa questo per negare in modo sensato che B è chiuso. Naturalmente il lavoro sporco è ancora tutto da fare
...
sì, siamo prodighi di buoni consigli
ma abbiamo i guanti bianchi
soprattutto Thomas, direi (vedi altro post sul determinante...)
No, seriamente, lo facciamo per te!
Cito da "la Repubblica" di oggi
"In sostanza lo studio della Cambridge University, mescolando psicologia e scienza cognitiva, ci dice di lasciar perdere l'idea che il genio, il talento o altre qualità innate creino le grandi menti della scienza e delle arti creative, le grandi scoperte e le grandi opere del pensiero o dell'arte o le grandi prestazioni dello sport: è invece una miscela di talento innato, studio e applicazione a produrre prestazioni record. Un motto variamente attribuito a Ernest Hemingway (per il campo umanistico) o a Thomas Edison (per quello scientifico) sosteneva che il genio è 1 per cento inspiration (ispirazione creativa) e 99 per cento perspiration (traspirazione, sudore, fatica). Sulla base del libro di Cambridge, il New Scientist aggiorna così la "formula della genialità": 1 per cento di ispirazione, 29 per cento di buone scuole, 70 per cento di lavoro."
ciao Kroldar (e Thomas, che dovrebbe riflettere: olio di gomito, ci vuole!)
ma abbiamo i guanti bianchi
soprattutto Thomas, direi (vedi altro post sul determinante...)
No, seriamente, lo facciamo per te!
Cito da "la Repubblica" di oggi
"In sostanza lo studio della Cambridge University, mescolando psicologia e scienza cognitiva, ci dice di lasciar perdere l'idea che il genio, il talento o altre qualità innate creino le grandi menti della scienza e delle arti creative, le grandi scoperte e le grandi opere del pensiero o dell'arte o le grandi prestazioni dello sport: è invece una miscela di talento innato, studio e applicazione a produrre prestazioni record. Un motto variamente attribuito a Ernest Hemingway (per il campo umanistico) o a Thomas Edison (per quello scientifico) sosteneva che il genio è 1 per cento inspiration (ispirazione creativa) e 99 per cento perspiration (traspirazione, sudore, fatica). Sulla base del libro di Cambridge, il New Scientist aggiorna così la "formula della genialità": 1 per cento di ispirazione, 29 per cento di buone scuole, 70 per cento di lavoro."
ciao Kroldar (e Thomas, che dovrebbe riflettere: olio di gomito, ci vuole!)
@ Thomas
Innanzitutto, grazie dell'aiuto.
Poi per punto aderente intendi un punto di accumulazione?
@Fioravante
In sostanza vuoi dire che Thomas dovrebbe dare consigli meno espliciti?
@ Chiunque sappia rispondere
L'osservazione "il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$" è corretta oppure ho preso un abbaglio?
Innanzitutto, grazie dell'aiuto.
Poi per punto aderente intendi un punto di accumulazione?
@Fioravante
In sostanza vuoi dire che Thomas dovrebbe dare consigli meno espliciti?
@ Chiunque sappia rispondere
L'osservazione "il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$" è corretta oppure ho preso un abbaglio?
"Poi per punto aderente intendi un punto di accumulazione?"
rispondo io: NO
$x$ aderente ad $A$ vuol dire che ogni intorno di $x$ contiene un punto di $A$
notare che non si chiede che questo punto sia diverso da $x$
@Fioravante
In sostanza vuoi dire che Thomas dovrebbe dare consigli meno espliciti?
veramente mi sembrava che Thomas cercasse di non esagerare con i consigli
@ Chiunque sappia rispondere
L'osservazione "il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$" è corretta oppure ho preso un abbaglio?[/quote]
io, io la so, prof!
certo, l'osservazione è giusta ed è l'idea vincente
nota che se hai uno sp topol che non sia 1-numerab puoi avere punti aderenti ad $A$ ai quali non converge nessuna successione
rispondo io: NO
$x$ aderente ad $A$ vuol dire che ogni intorno di $x$ contiene un punto di $A$
notare che non si chiede che questo punto sia diverso da $x$
@Fioravante
In sostanza vuoi dire che Thomas dovrebbe dare consigli meno espliciti?
veramente mi sembrava che Thomas cercasse di non esagerare con i consigli
@ Chiunque sappia rispondere
L'osservazione "il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$" è corretta oppure ho preso un abbaglio?[/quote]
io, io la so, prof!
certo, l'osservazione è giusta ed è l'idea vincente
nota che se hai uno sp topol che non sia 1-numerab puoi avere punti aderenti ad $A$ ai quali non converge nessuna successione
Cerco di raccogliere un po' le idee...
In verità mi ero accorto che la definizione di punto aderente data da Thomas non fosse quella di punto di accumulazione, però gli appunti sui quali mi appoggio recitano così: "$y$ è punto di accumulazione (o aderente) per $Y$ se $AA mu$ intorno di $y$ è $(y \cap Y) != O/$; pensavo dunque che Thomas intendesse questo, ma ora deduco che i miei appunti definiscono i punti aderenti in modo diverso da come li ha definiti Thomas. Nel seguito adotterò la definizione di punto aderente data da Thomas.
Bando alle chiacchiere adesso...
Vogliamo provare che un insieme chiuso è costituito da tutti i suoi punti aderenti. Sia dunque $A$ un insieme chiuso e sia $x$ un punto aderente ad $A$. Per assurdo ipottizziamo che $x !in A$. Ricordiamo che $A$ chiuso $rArr bar A$ aperto. Se $x !in A$ allora $x in bar A$. Ma allora $bar A$ è un intorno di $x$... tuttavia, essendo $bar A$ il complementare di $A$ risulta $bar A \cap A = O/$. Da ciò concludiamo che se $A$ è un insieme chiuso i punti aderenti ad $A$ appartengono ad $A$.
Ciò premesso, la proposizione da dimostrare è la seguente:
Sia $X$ uno spazio topologico I contabile e sia $B sub X$ e tale che ogni successione tutta contenuta in $B$ ammette come limite un elemento di $B$. In tali ipotesi $B$ è chiuso.
Mettiamoci di nuovo all'opera...
Proviamo a negare che $B$ sia chiuso. Dunque esiste $bar x$ aderente a $B$ tale che $bar x !in B$. Allora sfruttiamo l'osservazione (che finalmente ora sappiamo essere vera) per cui il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$. Partiamo dunque da $bar x$ e notiamo che ogni suo intorno contiene almeno un punto di $B$. Sappiamo inoltre che esiste un sistema fondamentale di intorni di $bar x$ numerabile. In ognuno di questi intorni cade sempre almeno un punto di $B$. Costruiamo dunque una successione ${x_n}$ di punti di $B$ tali che ogni punto deve cadere nell'intersezione tra $B$ e un intorno di $bar x$ e tale che $x_(n+1)$ è contenuto in un intorno di $bar x$ più piccolo rispetto a quello che contiene $x_n$. Dalla definizione di limite, la successione ${x_n}$ ha come limite $bar x$... ma $bar x !in B$ e questo va contro l'ipotesi. Da ciò segue che $B$ non può non essere chiuso.
Effettivamente prima di postare ho atteso che qualcuno (in questo caso Fioravante) desse il beneplacito all'osservazione sull'esistenza della successione... se l'osservazione fosse stata errata non avrebbe avuto senso postare il resto.
In verità mi ero accorto che la definizione di punto aderente data da Thomas non fosse quella di punto di accumulazione, però gli appunti sui quali mi appoggio recitano così: "$y$ è punto di accumulazione (o aderente) per $Y$ se $AA mu$ intorno di $y$ è $(y \cap Y) != O/$; pensavo dunque che Thomas intendesse questo, ma ora deduco che i miei appunti definiscono i punti aderenti in modo diverso da come li ha definiti Thomas. Nel seguito adotterò la definizione di punto aderente data da Thomas.
Bando alle chiacchiere adesso...
Vogliamo provare che un insieme chiuso è costituito da tutti i suoi punti aderenti. Sia dunque $A$ un insieme chiuso e sia $x$ un punto aderente ad $A$. Per assurdo ipottizziamo che $x !in A$. Ricordiamo che $A$ chiuso $rArr bar A$ aperto. Se $x !in A$ allora $x in bar A$. Ma allora $bar A$ è un intorno di $x$... tuttavia, essendo $bar A$ il complementare di $A$ risulta $bar A \cap A = O/$. Da ciò concludiamo che se $A$ è un insieme chiuso i punti aderenti ad $A$ appartengono ad $A$.
Ciò premesso, la proposizione da dimostrare è la seguente:
Sia $X$ uno spazio topologico I contabile e sia $B sub X$ e tale che ogni successione tutta contenuta in $B$ ammette come limite un elemento di $B$. In tali ipotesi $B$ è chiuso.
Mettiamoci di nuovo all'opera...
Proviamo a negare che $B$ sia chiuso. Dunque esiste $bar x$ aderente a $B$ tale che $bar x !in B$. Allora sfruttiamo l'osservazione (che finalmente ora sappiamo essere vera) per cui il fatto che un insieme $X$ sia I contabile vuol dire che $AA x_0 in X$ posso sempre costruire una successione di punti dell'insieme convergente a $x_0$. Partiamo dunque da $bar x$ e notiamo che ogni suo intorno contiene almeno un punto di $B$. Sappiamo inoltre che esiste un sistema fondamentale di intorni di $bar x$ numerabile. In ognuno di questi intorni cade sempre almeno un punto di $B$. Costruiamo dunque una successione ${x_n}$ di punti di $B$ tali che ogni punto deve cadere nell'intersezione tra $B$ e un intorno di $bar x$ e tale che $x_(n+1)$ è contenuto in un intorno di $bar x$ più piccolo rispetto a quello che contiene $x_n$. Dalla definizione di limite, la successione ${x_n}$ ha come limite $bar x$... ma $bar x !in B$ e questo va contro l'ipotesi. Da ciò segue che $B$ non può non essere chiuso.
Effettivamente prima di postare ho atteso che qualcuno (in questo caso Fioravante) desse il beneplacito all'osservazione sull'esistenza della successione... se l'osservazione fosse stata errata non avrebbe avuto senso postare il resto.
Eppure qualcosa non mi convince...
Questo non mi sembra vero, o almeno non lo abbiamo dimostrato.
Abbiamo dimostrato che: $B$ chiuso $rArr$ $AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B$.
Ma questo non necessariamente vuol dire che: $B$ non chiuso $rArr$ $EE bar x$ aderente a $B$ tale che $bar x !in B$.
Qualcuno ha qualche idea?
"Kroldar":
Proviamo a negare che $B$ sia chiuso. Dunque esiste $bar x$ aderente a $B$ tale che $bar x !in B$.
Questo non mi sembra vero, o almeno non lo abbiamo dimostrato.
Abbiamo dimostrato che: $B$ chiuso $rArr$ $AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B$.
Ma questo non necessariamente vuol dire che: $B$ non chiuso $rArr$ $EE bar x$ aderente a $B$ tale che $bar x !in B$.
Qualcuno ha qualche idea?
"Kroldar":
Questo non mi sembra vero, o almeno non lo abbiamo dimostrato.
Abbiamo dimostrato che: $B$ chiuso $rArr$ $AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B$.
Ma questo non necessariamente vuol dire che: $B$ non chiuso $rArr$ $EE bar x$ aderente a $B$ tale che $bar x !in B$.
Qualcuno ha qualche idea?
Un insieme B è chiuso $<=>$ B è l'insieme dei suoi punti aderenti
valgono le due implicazioni
... informazione: l'insieme dei punti aderenti è la chiusura di quell'insieme...@Fioravante_Patrone: dai su, se sto su questo forum a postare ogni tanto vuol dire che un pò di voglia di fare ce l'ho, no? E cmq questo es lo so risolvere, anche se non è un gran successo dopo che ho seguito un corso su stà roba... (ovvero topologia elementare):!:
Bene... quindi occorre provare anche l'inverso, cioè vogliamo dimostrare che:
$AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B rArr B$ chiuso.
Un insieme è chiuso quando è il complementare di un aperto. Ho trovato però un'altra definizione di insieme chiuso che credo faccia al caso nostro... la scrivo: dire che un insieme è chiuso equivale a dire ogni punto appartenente al suo complementare è interno al suo complementare. Un punto è interno a un insieme se esiste almeno un intorno del punto tutto contenuto nell'insieme.
Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi... assumiamo dunque $B$ non chiuso. Allora $EE y in bar B : y$ non è interno a $bar B$, quindi non esiste un intorno $mu_y$ di $y : mu_y sub bar B$. Da ciò segue che $AA mu_y$ risulta $mu_y \cap B != O/$... ma allora $y in bar B$ è un punto aderente a $B$. Questo tuttavia è impossibile, poiché per ipotesi tutti i punti aderenti a $B$ appartengono a $B$.
Possiamo perciò affermare che:
$B$ chiuso $hArr AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B$.
Questa volta la dimostrazione dell'inverso del teorema di chiusura per successioni dovrebbe essere completata sul serio... Aspetto in ogni caso pareri più autorevoli prima di esserne sicuro.
Un'altra cosa... qualcuno sa farmi degli esempi di spazi topologici che sono I contabili e spazi che invece non lo sono?
$AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B rArr B$ chiuso.
Un insieme è chiuso quando è il complementare di un aperto. Ho trovato però un'altra definizione di insieme chiuso che credo faccia al caso nostro... la scrivo: dire che un insieme è chiuso equivale a dire ogni punto appartenente al suo complementare è interno al suo complementare. Un punto è interno a un insieme se esiste almeno un intorno del punto tutto contenuto nell'insieme.
Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi... assumiamo dunque $B$ non chiuso. Allora $EE y in bar B : y$ non è interno a $bar B$, quindi non esiste un intorno $mu_y$ di $y : mu_y sub bar B$. Da ciò segue che $AA mu_y$ risulta $mu_y \cap B != O/$... ma allora $y in bar B$ è un punto aderente a $B$. Questo tuttavia è impossibile, poiché per ipotesi tutti i punti aderenti a $B$ appartengono a $B$.
Possiamo perciò affermare che:
$B$ chiuso $hArr AA bar x$ aderente a $B$ è $bar x in B$.
Questa volta la dimostrazione dell'inverso del teorema di chiusura per successioni dovrebbe essere completata sul serio... Aspetto in ogni caso pareri più autorevoli prima di esserne sicuro.
Un'altra cosa... qualcuno sa farmi degli esempi di spazi topologici che sono I contabili e spazi che invece non lo sono?
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