Inversa di una funzione in un intervallo.
Salve a tutti! Avrei bisogno di un aiuto riguardante il seguente esercizio:
Sia data $f(x)=2xe^(1/x)$. Determinare il massimo intorno di 1/2 per cui f è invertibile, dunque calcolarne l'inversa.
Ecco il mio tentativo:
Dopo aver studiato la funzione (dominio, limiti agli estremi del dominio, segno, eventuali estremi relativi e assoluti) ho velocemente dedotto che il massimo intorno fosse quello di centro 1/2 e raggio 1/2 (con 0 e 1 rispettivamente escluso e incluso) e ho proceduto con il tentativo di calcolo applicando i logaritmi a entrambi i membri in questo modo:
$ln(y)=ln(2)+ln(x)+1/x$
Da qui non so come andare avanti! Ho imboccato il sentiero giusto?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Sia data $f(x)=2xe^(1/x)$. Determinare il massimo intorno di 1/2 per cui f è invertibile, dunque calcolarne l'inversa.
Ecco il mio tentativo:
Dopo aver studiato la funzione (dominio, limiti agli estremi del dominio, segno, eventuali estremi relativi e assoluti) ho velocemente dedotto che il massimo intorno fosse quello di centro 1/2 e raggio 1/2 (con 0 e 1 rispettivamente escluso e incluso) e ho proceduto con il tentativo di calcolo applicando i logaritmi a entrambi i membri in questo modo:
$ln(y)=ln(2)+ln(x)+1/x$
Da qui non so come andare avanti! Ho imboccato il sentiero giusto?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
L'intervallo di invertibilità sembra corretto.
Sei sicuro che l'esercizio richieda di calcolare esplicitamente la funzione inversa e non, che so, il suo valore in qualche punto preciso?
Sei sicuro che l'esercizio richieda di calcolare esplicitamente la funzione inversa e non, che so, il suo valore in qualche punto preciso?
Ne ero sicuro ma ho controllato e in effetti non so cosa avessi in testa ma l'sercizio chiede di determinarne il dominio e poi di determinare il valore che assume la derivata prima e seconda dell' inversa di f ristretta a quell'intervallo in $e^2$!
Bene. Hai quindi la tua funzione \(f\colon (0,1]\to [2\sqrt{e}, +\infty)\) biiettiva. Detta \(\varphi\) la sua inversa, per definizione sai che
\[
f(\varphi(y)) - y = 0.
\]
Ti basta ora derivare questa relazione (due volte) e valutare per \(y = e^2\) (a cui corrisponde \(x = 1/2\)).
(La regolarità dell'inversa in un intorno di \(1/2\) è garantita dal teorema della funzione inversa o implicita.)
\[
f(\varphi(y)) - y = 0.
\]
Ti basta ora derivare questa relazione (due volte) e valutare per \(y = e^2\) (a cui corrisponde \(x = 1/2\)).
(La regolarità dell'inversa in un intorno di \(1/2\) è garantita dal teorema della funzione inversa o implicita.)
Grazie per l'indizio ma alcune cose non mi tornano:
1) mi risulta che $f:(0,1] rarr [e,+∞)$ , no?
2) Se $f(φ(y))−y=0$ dovrei avere (correggimi se sabglio):
$ d/dy[ f(φ(y))−y]= f^{\prime}(φ(y))φ^{\prime}(y)-1$ e infine
$φ^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(φ(y))}$.
Ma come valuto $f^{\prime}(φ(y))$ ?
Grazie ancora per gli aiuti!
1) mi risulta che $f:(0,1] rarr [e,+∞)$ , no?
2) Se $f(φ(y))−y=0$ dovrei avere (correggimi se sabglio):
$ d/dy[ f(φ(y))−y]= f^{\prime}(φ(y))φ^{\prime}(y)-1$ e infine
$φ^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(φ(y))}$.
Ma come valuto $f^{\prime}(φ(y))$ ?
Grazie ancora per gli aiuti!
"Cesare_VR":
Grazie per l'indizio ma alcune cose non mi tornano:
1) mi risulta che $f:(0,1] rarr [e,+∞)$ , no?
\(f\) è strettamente decrescente in \((0,1]\), con \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty\) e \(f(1) = 2 e\). Di conseguenza, \(f((0,1]) = [2 e, +\infty)\). (Avevo messo erroneamente una radice quadrata.)
2) Se $f(φ(y))−y=0$ dovrei avere (correggimi se sabglio):
$ d/dy[ f(φ(y))−y]= f^{\prime}(φ(y))φ^{\prime}(y)-1$ e infine
$φ^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(φ(y))}$.
Ma come valuto $f^{\prime}(φ(y))$ ?
Beh, \(f'\) la sai calcolare in ogni punto. Devi solo osservare che al punto \(x=1/2\) corrisponde \(y=e^2\). Questo significa che \(\varphi(e^2) = 1/2\), per cui \(\varphi'(e^2) = 1 / f'(1/2)\).
Analogamente puoi procedere per la derivata seconda, derivando un'altra volta la relazione \(f'(\varphi(y)) \varphi'(y) - 1 = 0\).
Grazie mille sei stato gentilissimo!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo