Inversa di funzione

[keccogrin-votailprof]

Qual è la funzione inversa di [tex]f(x)= \frac {\sqrt x} {x-1}[/tex]?
Quello che so dire è che il Dominio della [tex]f^{-1}(y)[/tex] sarà certamente [tex]\mathbb{R}[/tex] e che la sua Immagine sarà [tex]\mathbb {R}^{+} \smallsetminus {1}[/tex] ma come faccio a trovare la [tex]f^{-1}(y)[/tex] in forma esplicita? Come si distinguono i casi?
Grazie

[gugo82]

Basta risolvere l'equazione [tex]$\frac{\sqrt{x}}{x-1}=y$[/tex], che non mi pare presenti particolari difficoltà... Prova a postare un po' di passaggi.

Faccio notare che l'immagine di [tex]$f^{-1}$[/tex] ha da essere [tex]$[0,+\infty [\setminus \{ 1\}$[/tex].

[keccogrin-votailprof]

Sull'immagine, sono d'accordo (l'ho scritta male perchè non riuscivo a mettere le {} all'nsieme singoletto {1})...mi resta un dubbio cruciale: se elevo al quadrato non perdo qualche caso? Non mi so spiegare perchè ho le idee molte confuse, ma: per elevare al quadrato mi devo assicurare che siano entrambi i membri positivi, allora non perdo per esempio i casi di (x-1)<0? Come la mettiamo se y<0?
Mi piacerebe che mi spiegheresti per bene quali sono i passaggi rigorosi per arrivare alla espressione dell'inversa...Grazie per la considerazione attenta alle 11 e mezzo di sera ':wink:'

[gugo82]

Beh, dallo studio del segno di [tex]$f(x)$[/tex] sai che [tex]$f(x) >0 \Leftrightarrow x>1$[/tex] [risp. [tex]$f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$[/tex], [tex]$f(x)<0 \Leftrightarrow 00$[/tex] devi prendere necessariamente l'unica soluzione di [tex]$\frac{\sqrt{x}}{x-1} =y$[/tex] che è [tex]$>1$[/tex] e, viceversa, se prendi [tex]$y<0$[/tex] devi scegliere l'unica soluzione di [tex]$\frac{\sqrt{x}}{x-1} =y$[/tex] che è [tex]$<1$[/tex].


P.S.: Probabilmente l'equivoco sull'immagine è dovuto al fatto che per me [tex]$\mathbb{R}^+=]0,+\infty[$[/tex].