Inversa
$f(x)=sqrt(1-x^2)-x $ questa funzione non è invertibile in tutto R ma nell'intervallo $(0,+oo)$ penso di si. potreste dirmi come trovo l'inversa?
Risposte
Attenzione... quali sono il dominio e il codominio di questa funzione?
il dominio è $[-1,1] $ quindi nn è invertibile ???
La funzione è invertibile... ma non in $(0,+oo)$
ok e potresti dirmi l'inversa nell'intervallo dove è invertibile?
Una volta trovato il dominio c'è da chiedersi: la funzione è iniettiva in tutto il suo dominio?
credo bisogna escludere i valori -1,+1 giusto?
tracciati un grafico della funzione così lo vedi bene
ha valori differenti... per x=-1 e x=+1 dovrebbe essere iniettiva quindi
in sostanza esiste un intervallo in cui si può invertire questa funzione???
perchè se esiste io non riesco proprio a determinare l'inversa.
perchè se esiste io non riesco proprio a determinare l'inversa.
Tanto per provare l'ho disegnata in derive e vedendo il grafico si capisce che non è iniettiva quindi nemmeno invertibile.. questa nn è propriamente una risposta matematica ma puoi sempre dimostrarla...
Eccola:
Eccola:
Per vedere dove la funzione sia invertibile devi studiarla nel senso di vedere dove è crescente e dove decrescente , dove cioè è monotona ;in questi intervalli sarà poi invertibile.
Per trovare la espressione analitica della funzione inversa cioè $ x = g(y) $ puoi fare così:
riscrivi la funzione originaria : $ x+y = sqrt(1-x^2) $
elevi al quadrato e ottieni : $2x^2+2yx+(y^2-1)=0 $ e adesso risolvi rispetto a $x $ come una normale equazione di secondo grado...
Per trovare la espressione analitica della funzione inversa cioè $ x = g(y) $ puoi fare così:
riscrivi la funzione originaria : $ x+y = sqrt(1-x^2) $
elevi al quadrato e ottieni : $2x^2+2yx+(y^2-1)=0 $ e adesso risolvi rispetto a $x $ come una normale equazione di secondo grado...
quindi in un ipotetico esercizio che mi chiede se la funzione è invertibile ed eventualmente di trovare l'espressione della funzione inversa quali procedimenti devo usare?
calcolare il dominio e verificare la crescenza e decrescenza (tramite la derivata prima)?
come faccio a vedere se è iniettiva ??? e suriettiva???
calcolare il dominio e verificare la crescenza e decrescenza (tramite la derivata prima)?
come faccio a vedere se è iniettiva ??? e suriettiva???
Esatto, trova il dominio e vedi in quali intervalli la funzione è strettamente monotona (puoi aiutarti con un disegno o con lo studio del segno della derivata prima).
Per vedere se una funzione è iniettiva devi accertarti che ogni elemento del codominio è immagine al più di un elemento del dominio... ecco perché si parlava di monotonia, infatti una funzione strettamente monotona in un certo intervallo è ovviamente iniettiva.
Per la suriettività non preoccuparti, basta restringere il codominio all'insieme dei valori che la funzione effettivamente assume.
Per vedere se una funzione è iniettiva devi accertarti che ogni elemento del codominio è immagine al più di un elemento del dominio... ecco perché si parlava di monotonia, infatti una funzione strettamente monotona in un certo intervallo è ovviamente iniettiva.
Per la suriettività non preoccuparti, basta restringere il codominio all'insieme dei valori che la funzione effettivamente assume.
grazie!!!
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