Invarianza di forma del differenziale e sua applicazione
Salve, sul vecchio Pagani-Salsa apprendo che il differenziale soddisfa una proprietà che si chiama "invarianza di forma", che, a detta del testo, lo rende più flessibile della derivata in alcune situazioni.
Mi spiego meglio.
Siano $w=g(y)$ e $y=f(x)$ due funzioni tali che $g$ è definita sull'immagine di $f$. Posso allora considerare la composizione $g o f$ e cioè la funzione $h: w=g(f(x))$.
Ora, se ho capito bene, tale proprietà del differenziale consiste nel fatto che il differenziale di $w=g(y)$ è uguale al differenziale di $w=g(f(x))$. Ciò infatti è abbastanza intuitivo, dal momento che il differenziale "lavora" sulle immagini della funzione.
Infatti, $dw=d(g(y))=g'(y)dy$ e $dw=d(g(f(x)))=g'(f(x))f'(x)dx$.
Ora, osservando che $dy=d(f(x))=f'(x)dx$ e che $f(x)=y$, posso scrivere $dw=d(g(f(x)))=g'(f(x))f'(x)dx$ come:
$dw=d(g(f(x)))=g'(y)dy$.
Quindi il differenziale della funzione $g$ ed il differenziale della funzione composta $h$ coincidono.
Ora quello che non ho capito è l'utilità dell'applicazione di tale concetto.
Il libro fa quest'esempio.
"E' sostanzialmente per l'invarianza di forma che, nelle scienze applicate, si "differenzia" una data equazione anziché derivarla, quando non siano precisate le dipendenze delle variabili.
Ad esempio, in termodinamica, si può "differenziare" l'equazione di stato dei gas perfetti $pV=RT$, ottenendo $pdV+Vdp=RdT$.
Grazie.
Mi spiego meglio.
Siano $w=g(y)$ e $y=f(x)$ due funzioni tali che $g$ è definita sull'immagine di $f$. Posso allora considerare la composizione $g o f$ e cioè la funzione $h: w=g(f(x))$.
Ora, se ho capito bene, tale proprietà del differenziale consiste nel fatto che il differenziale di $w=g(y)$ è uguale al differenziale di $w=g(f(x))$. Ciò infatti è abbastanza intuitivo, dal momento che il differenziale "lavora" sulle immagini della funzione.
Infatti, $dw=d(g(y))=g'(y)dy$ e $dw=d(g(f(x)))=g'(f(x))f'(x)dx$.
Ora, osservando che $dy=d(f(x))=f'(x)dx$ e che $f(x)=y$, posso scrivere $dw=d(g(f(x)))=g'(f(x))f'(x)dx$ come:
$dw=d(g(f(x)))=g'(y)dy$.
Quindi il differenziale della funzione $g$ ed il differenziale della funzione composta $h$ coincidono.
Ora quello che non ho capito è l'utilità dell'applicazione di tale concetto.
Il libro fa quest'esempio.
"E' sostanzialmente per l'invarianza di forma che, nelle scienze applicate, si "differenzia" una data equazione anziché derivarla, quando non siano precisate le dipendenze delle variabili.
Ad esempio, in termodinamica, si può "differenziare" l'equazione di stato dei gas perfetti $pV=RT$, ottenendo $pdV+Vdp=RdT$.
Grazie.
Risposte
UP!
up!
Veramente mi sembra un tentativo non troppo riuscito di dare veste rigorosa ad una classica procedura urang-utang. Quando nelle scienze applicate si differenzia senza specificare le variabili, si intende che si sta considerando un "piccolo" incremento della variabile dipendente, qualunque essa sia: più o meno, mi pare di capire che il libro intenda questo.
Ma secondo me poteva anche non dire nulla e avrebbe creato meno confusione. Tanto dal punto di vista strettamente formale comunque non va bene.
Ma secondo me poteva anche non dire nulla e avrebbe creato meno confusione. Tanto dal punto di vista strettamente formale comunque non va bene.
Salve ragazzi, rispolvero il thread perché nello stesso paragrafo del libro viene esplicitato che l'invarianza di forma vale solo per il differenziale primo e non per quello secondo, terzo, ecc, aducendo che "è facile verificarlo". Qualcuno sa aiutarmi in questa verifica?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo