$intx^2/(x^2+1)^2dx$

[Flamber]

Davvero nn riesco a visualizzare come risolvere questo integrale:

$intx^2/(x^2+1)^2dx$

Ho pensato di farlo per parti

$intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-intf'(x)g(x)dx$

ponendo $f(x)=x^2$ allora $f'(x)=2x$

ora il problema è quello di integrare $1/(x^2+1)^2$

Come potrei fare?

[gugo82]

Questo è un classico dell'integrazione per parti...

Dato che:
\[
\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x = \int x\ \frac{x}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x
\]
prova ad integrare per parti con \(g^\prime (x) = \frac{x}{(1+x^2)^2}\).

***

Esercizio bonus:

Determinare una formula di ricorrenza per il calcolo dell'integrale:
\[
I_n := \int \frac{1}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x\; .
\]

[pemaberty]

aggiungi e sottrai al numeratore $x^2$

[gugo82]

"TheAnswer93":aggiungi e sottrai al numeratore $x^2$

Certo, così ritorna all'integrale che non sa calcolare...

[Noisemaker]

"gugo82":
Esercizio bonus:

Determinare una formula di ricorrenza per il calcolo dell'integrale:
\[
I_n := \int \frac{1}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x\; .
\]

provo spollerizzando

\begin{align*}
I_{n-1}&=\int \frac{1}{\left(1+t^2\right)^{n-1}}\,\,dt=t\cdot \frac{1}{\left(1+t^2\right)^{n-1}} -\int t \cdot d\left(\frac{1}{\left(1+t^2\right)^{n-1}}\right)\\
&= \frac{t}{\left(1+t^2\right)^{n-1}} -\int t \cdot \frac{-({n-1})(1+t^2)^{n-2}\cdot 2t}{\left(1+t^2\right)^{2n-2}} \,\,dt\\
&= \frac{t}{\left(1+t^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{t^2}{\left(1+t^2\right)^{ n }} \,\,dt\\
&= \frac{t}{\left(1+t^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{t^2+1}{\left(1+t^2\right)^{ n }} \,\,dt-2n\int \frac{1}{\left(1+t^2\right)^{ n }} \,\,dt\\
& = \frac{t}{\left(1+t^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{ 1}{\left(1+t^2\right)^{ {n-1} }} \,\,dt-2({n-1})\int \frac{1}{\left(1+t^2\right)^{ n }} \,\,dt\\
&=\frac{t}{\left(1+t^2\right)^ {n-1}} +2(n-1)I_{n-1}-2(n-1)I_{n }\\
\end{align*}
da cui la formula ricorsiva:
\begin{align*}
I_n&= \frac{t}{(2n-2)\left(1+t^2\right)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}
\end{align*}
Così ad esempio, noto il fatto che $I_1 =\int \frac{1}{ 1+t^2 } dt=\arctan t$
\begin{align*}
I_2&=\int \frac{1}{ (1+t^2)^2 }\,\,dt=\frac{t}{(4-2)\left(1+t^2\right)^{2-1}} +\frac{4-3}{4-2}\,\,I_{2-1}=\frac{t}{2\left(1+t^2\right) } +\frac{1}{ 2}\,\,I_{1}\\
&=\frac{t}{2\left(1+t^2\right) } +\frac{1}{ 2}\arctan t\\
I_3&=\int \frac{1}{ (1+t^2)^3 }\,\,dt=\frac{t}{(6-2)\left(1+t^2\right)^{3-1}} +\frac{6-3}{6-2}\,\,I_{3-1}=\frac{t}{4\left(1+t^2\right)^2 } +\frac{3}{ 4}\,\,I_{2}\\
&=\frac{t}{4\left(1+t^2\right)^2 }+\frac{3t}{8\left(1+t^2\right) } +\frac{3}{ 8}\arctan t
\end{align*}

[gugo82]

@ Noisemaker: A occhio sembra giusta... Però non capisco la scelta di partire da \(I_{n-1}\).

Infatti, considerando \(n\geq 1\) (il caso \(n=1\) è da tabella), con un po' di algebra ed un'integrazione per parti si trova immediatamente:
\[
\begin{split}
I_n &= \int \frac{x^2+1-x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x \\
&= \underbrace{\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x}_{=I_{n-1}} - \int x\ \frac{x}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x\\
&= I_{n-1} + \frac{1}{2(n-1)}\ \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} - \frac{1}{2(n-1)}\ \underbrace{\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x}_{=I_{n-1}}\\
&= \frac{1}{2(n-1)}\ \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2}\ I_{n-1}\; .
\end{split}
\]

[Noisemaker]

sono partito da $n-1$ per arrivare ad avere $I_n=....$ ... ma leggendo la tua risoluzione ... mi sa he è irrilevante...

[Flamber]

Innanzitutto grazie per il chiarimento.

In riferimento al primo limite, io ottengo un risultato, wolfram un altro, ed il libro in altro ancora.

Il mio risultato è:
$-x/(2(x^2+1))+1/2arctanx$

Il risultato di wolfram e uguale ma senza l'arctan, mentre il mio libro da come soluzione:
$2/x+1/2log(x^2+1)+2arctanx+c$

Chi sbaglia ?

[Flamber]

Penso che dei tre sicuramente sbagli il libro, perché non vedo come possa venire un risultato simile!

[gugo82]

Basta derivare i tre risultati per vedere quali sono corretti e quali non lo sono.