$int(x+1)/(x(x^2+1))dx$

[Flamber]

Qualcuno può darmi una mano con questo esercizio?

$int(x+1)/(x(x^2+1))dx$

Allora ho provato a fare così:

$(x+1)/(x(x^2+1))=A/(x^2+1)+B/x$ ma non viene perchè si deve dividere il denominatore come:

$(x+1)/(x(x^2+1))=A/(x^2+1)+B/(x(x^2+1))$ e già questo non mi è molto chiaro, non riesco a capire come decidere i denominatori.

comunque si ha: $x+1=Ax+B$ e quindi $A=1$ e $B=1$;

$int(1/(x^2+1)+1/(x(x^2+1)))dx = arctanx+c+int1/(x(x^2+1))$

$int1/(x(x^2+1)) dx= int(1+3x^2-3x^2)/(x^3+x)dx = int(1+3x^2)/(x^3+x)dx - 3intx^2/(x(x^2+1))dx$

$= ln|x^3+x|-3intx/(x^2+1)dx=ln|x^3+x|-3/2int2x/(x^2+1)dx = ln|x^3+x|-3/2 ln(x^2+1)$


$int(x+1)/(x(x^2+1))dx = ln|x^3+x|-3/2 ln(x^2+1)+arctanx+c$


Dove sbaglio? la soluzione sarebbe:

$arctanx+log|x|/sqrt(x^2+1)+c$

[Raptorista1]

"Flamber":
Allora ho provato a fare così:

$(x+1)/(x(x^2+1))=A/(x^2+1)+B/x$ ma non viene perchè si deve dividere il denominatore come:

$(x+1)/(x(x^2+1))=A/(x^2+1)+B/(x(x^2+1))$ e già questo non mi è molto chiaro, non riesco a capire come decidere i denominatori.

Non sono molto d'accordo con questo: la prima delle due è più giusta [ma non ancora giusta, purtroppo].

Per avere massima generalità nell'espressione delle frazioni [i.e. per essere sicuro che spezzando le frazioni tu riesca a tornare indietro] devi considerare frazioni con numeratore di grado minore di quello del denominatore di un grado solo.

In simboli, lo "spezzamento" giusto dovrebbe essere
\[
\frac{x + 1}{x(x^2 + 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x}.
\]

[Flamber]

Grazie per il chiarimento, mi sarà molto utile.

Tuttavia in questo caso andava bene (immagino per fortuna), ma il limite comunque non viene, non capisco dove sia sbagliato

[theras]

Beh,se proprio ora non ti và d'usare la forza bruta
(o non ti riesce,che alle volte capita..)
osserva che $(x+1)/(x(x^2+1))=(x+(x^2+1)-x^2)/(x(x^2+1))=..=1/(x^2+1)+1/x-x/(x^2+1)$:
è un pò artigianale,
ma quando ci si può risparmiare un lavoraccio nel decomporre in fratti semplici perché non farlo ?
Un altra cosa:
se non vedi subito un procedimento così specifico e non generale,
non è difficile mostrare che,
detta $A/x+(Bx+C)/(x^2+1)$ la corretta decomposizione di quella funzione integranda, si ha $A=lim_(x to 0)(x+1)/(x^2+1)$,
e poi trovare $B,C$ risolvendo il sistema lineare ottenuto ponendo,
per comodità di conti,$x=1,x=-1$ in quella giusta decomposizione
(dopo aver sostituito il valore ormai noto del numeratore del fratto semplice lineare di molteplicità 1,intendo..)!
Saluti dal web.

[Flamber]

Diciamo che ci ero arrivato alla meno peggio, e che il tuo calcolo è certamente più rigoroso. Ma l'integrale comunque teoricamente dovrebbe venire, o sbaglio? Soprattutto se è il libro a proporre quella soluzione

[theras]

Beh,a me par che $"arctg"x+log |x| -1/2log|x^2+1|+c$ coincida,per le note proprietà dei logaritmi e dato che l'argomento del secondo è positivo in tutto il dominio dell'integranda,
con quanto scritto nel libro..
Saluti dal web.