Introduzione alla formula di taylor

[francicko]

Ho molta difficoltà a comprendere a pieno questo preciso argomento, pertanto sarei molto grato se potreste darmi qualche delucidazione a riguardo.
Da quello che ho letto lo scopo di tale formula è quello di trasformare una funzione continua e derivabile in una somma di funzioni polinomiali.
Nella dimostrazione che ho letto si parte semplicemente dal teorema di lagrange applicato alla funzione continua e derivabile $f(x)$ all'interno dell'intervallo $[a,x]$, $(f(x)-f(a))/(x-a)=f'(c)$ con $c$ interno all'intervallo, da cui si ricava semplicemente $f(x)=f(a)+(x-a)f'(c)$, continuando la lettura si dice che quando $x->a$ intuitivamente si può sostituire $c$ con $x$, cioè $f'(x)=f'(c)$. Se la funzione $f'(x)$ nell'intervallo $[a,x]$ è continua e derivabile sempre all'interno di tale intervallo, si può ancora applicvare il teorema di lagrange ottenendo $(f'(x)-f'(a))/(x-a)=f''(c)$ potendo scambiare $c$ con $x$ si ha :
$f'(c)=f'(a)+(x-a)f''(c)$ andando a sostituire nella prima formula si ottiene $f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2f''(c)$ continuando con questo procedimento finchè le funzioni successive si mantengono continue e derivabili si ha in generale :
$f(x)= f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2f''(a)+....(x-a)^nf^n(c)$ se ci arrestiamo all'ennesimo termine, nel procedimento non si é tenuto conto delle costanti , per avere un eguaglianza bisogna che sia $f(x)= f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)f''(a)/2+(x-a)f'''(a)/3!+...(x-a)f^n(c)/(n!)$, ora osservando tale dimostrazione non riesco a capire qual'è il vantaggio , visto che ottengo uno sviluppo polinomiale in prossimita del punto $a$ pertanto bisogna conoscere $f(a)$, se prendo il punto $a=0$ ottengo lo sviluppo polinomiale in prossimità di tale punto, quindi come mi può aiutare a calcolare con approssimazione i valori della funzione per ogni punto dell'intervallo?
Nella funzione $sinx$, lo sviluppo che si ottiene permette di calcolare con l'approssimazione desiderata il valori della funzione in ogni punto dell'intervallo di definizione, ed in questo caso per tutto $R$, eppure il polinomio di taylor è quello calcolato nel punto zero conoscendo i valori delle derivate successive in tale punto, quindi in questo caso il polinomio sviluppato nel punto zero mi permette di calcolare i valori della funzione in tutto $R$, per $n$ tendente ad ifinito anzi tale polinomio viene a coincidere con la funzione $sinx$, come mai?
Sperando in un vostro aiuto, vi porgo cordiali saluti!

[dissonance]

La derivazione che hai fatto è tutta sbagliata, in particolare la formula senza i denominatori $k!$ è un errore bello e buono, non c'entra nulla dire che "non si è tenuto conto delle costanti".

Comunque, non tutte le funzioni hanno la proprietà di essere individuate completamente dalle proprie serie di Taylor. La funzione $\sin$ lo è, ma ad esempio la funzione $x\mapsto \frac{1}[1-x}$ ha per serie di Taylor centrata in $x=0$
$$\sum_{n=0}^\infty x^n,$$
che non converge per \(\lvert x \rvert \ge 1\), nonostante la funzione sia ben definita e continua in tutto $RR \setminus \{1\}$.

[gugo82]

@ frankcicko: Su quale libro hai letto la formula di Taylor "spiegata" in quel modo lì?

[francicko]

Intanto grazie per avermi risposto!
x@gugo: questa dimostrazione l'ho letta navigando in rete, sul sito ripmat, o qualcosa del genere, magari sono io che l'ho riportata erroneamente, ma onestamente non ha convinto neanche me, il fatto è che sino a quando non riesco a trovare
una dimostrazione di questo argomento che mi appaia convincente difficilmente mi rassegno, ho consultato diversi testi quali Zwirner, Stampacchia,...ecc, come giustamente consigliato, ma il fatto che il polinomio di mc laurin di una funzione
qualsiasi $f(x)$ approssimi tale funzione sempre meglio man mano che $n$ diventa sempre più grande , per me rimane ancora un fatto oscuro.
Ieri però sempre in rete ne ho trovato una semplice ed a mio modesto parere più convincente;
Tale dimostrazione parte dallo sviluppo della funzione $f(x)$, e tramite iterazione del teorema di lagrange arriva ai termini che ne costituiscono lo sviluppo, in definitiva si considera la funzione generica $f(x)$ nell'intervallo $[x_0,x]$,, applicando una prima volta lagrange si ha: $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(phi)$ con $x_0 dopodichè essendo $f'(phi)$ un numero dipendente dall'intervallo $[x_0,x]$, si può considerare come somma di $f'(x_0)$ ed una variabile $T$ cioé $f(x)= f(x_0)+(x-x_0)[f'(x_0)+T]$, a questo punto si osserva che non può certo essere $T$ una costante in quanto derivando si otterrrebbe $f'(x)=f'(x_0)+T$ da cui segue che $T$ deve annullarsi quando $x=x_0$.
Dovendo così essere $T$ una funzione, proviamo a prendere $T=K(x-x_0)$ con $K$ costante, in pratica la funzione più semplice che soddisfa la condizione sopra citata, e sostituendo si ottiene: $f(x)=f(x_0)+(x_x_0)f'(x_0)+(x-x_0)^2K$ A questo punto possiamo andare a vedere che forma deve avere questo $K$, pertanto andiamo a derivare l'ultima espressione sopra e riapplichiamo lafrange, otterremo:
$f'(x)=f'(x_0)+2(x-x_0)K$ questo implica che $(f'(x)-f'(x_0))/(x-x_0)=2K=f''(phi_1)$ $->$ $K=(f''(phi_1))/2$ con $x_0<(phi_1) $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+((x-x_0)^2)/2f''(phi_1)$, indicando con $R_2=(x-x_0)^2/2f''(phi_1)$ altro non é che l'errore che si commette quando si approssima la curva con la tangente nel punto $x_0$,;
Procedendo indefinitivamente avremo $R_3=(x-x_0)^3/(3!)f'''(phi_3)$ per $n=3$ e così via, quindi in generale
avremo $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)^2/2f''(x_0)+(x-x_0)^3/(3!)f'''(x_0)+.......+(x-x_0)^n/(n!)f^n(phi_n)$
$x_0 A mio modesto parere il procedimento illustrato sopra ci fa ben capire il perchè la funzione generica $f(x)$ può essere
approssimata in maniera sempre più precisa da tale polinomio,prendendo $n$ sempre più grande, se e solo se il termine $R_n=(x-x_0)^n/(n!)f^n(phi_n) ->0$ per $n->infty$. Se prendiamo ad esempio la funzione $sinx$ ed il suo sviluppo nel punto $x_0=0$, il termine ennesimo $(x^(2n+1)/((2n+1)!))->0$ per $n->infty$ , $f^n(phi_n)$ è limitata , pertanto il limite di $R_n=(x^(2n+1)/((2n+1)!))f^n(phi_n)$ tende a zero, e quindi la funzione può essere approssimata con un errore sempre più piccolo. Scusate se magari ho scritto delle cose errate e poco sensate, ma sto facendo uno sforzo notevole per venire a capo dell'argomento, spero in un vostro aiuto.
Saluti!

[gugo82]

Allora vediamo...

Il teorema classico (al netto di ipotesi di comodo) è questo:

Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo non degenere, \(x_0\) interno ad \(I\) ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile \(n-1\) volte in \(I\) ed \(n\) volte in \(x_0\).
Posto:
\[
T_n(x;x_0) := f(x_0) + f^\prime (x_0)\ (x-x_0)+ \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime}(x_0)\ (x-x_0)^2 +\cdots + \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\; ,
\]
si ha:

[list=i] [*:m6bjr9yk] il polinomio \(T_n\) assume in \(x_0\) lo stesso valore di \(f\) ed anche le \(n\) derivate successive di \(T_n\) assumono in \(x_0\) i valori delle corrispondenti derivate di \(f\), cioé:
\[
\begin{split}
f(x_0) &= T_n(x_0;x_0)\\
f^\prime (x_0) &= T_n^\prime (x_0;x_0)\\
f^{\prime \prime} (x_0) &= T_n^{\prime \prime} (x_0;x_0)\\
&\vdots \\
f^{(n)} (x_0) &= T_n^{(n)} (x_0;x_0)\; ;
\end{split}
\]

[/*:m:m6bjr9yk]
[*:m6bjr9yk] risulta:
\[
f(x)-T_n(x;x_0) = \text{o}\big( (x-x_0)^n\big)\qquad \text{quando } x\to x_0\; ,
\]
ossia:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\; .
\][/*:m:m6bjr9yk][/list:o:m6bjr9yk]

Il polinomio \(T_n(x;x_0)\) si chiama polinomio di Taylor di centro \(x_0\) d'ordine \(n\); il grado di \(T_n(x;x_0)\) è \(\leq n\) ed è uguale ad \(n\) se e solo se \(f^{(n)}(x_0)\neq 0\).

Dim.: Che il polinomio \(T_n\) soddisfi le i si dimostra facendo esplicitamente i conti, quindi te lo lascio.

Proviamo che vale la ii, cioé che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\; .
\]
Il limite al primo membro è nella forma indeterminata \(0/0\) e sono soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital, sicché:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f^\prime (x)- T_n^\prime (x;x_0)}{n\ (x-x_0)^{n-1}}\; ;
\]
il limite al secondo membro è ancora nella forma ideterminata \(0/0\) e sono soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital una seconda volta, cosicché:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} \stackrel{\text{H}^2}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f^{\prime \prime} (x)- T_n^{\prime \prime} (x;x_0)}{n(n-1)\ (x-x_0)^{n-2}}\; ;
\]
il limite al secondo membro è ancora nella forma ideterminata \(0/0\) e sono soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital una terza volta, cosicché:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} \stackrel{\text{H}^3}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f^{\prime \prime \prime} (x)- T_n^{\prime \prime \prime} (x;x_0)}{n(n-1)(n-2)\ (x-x_0)^{n-3}}\; \ldots
\]
Applicando il teorema di de l'Hôpital \(n-1\) volte si perviene a:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} \stackrel{\text{H}^{n-1}}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x)- T_n^{(n-1)} (x;x_0)}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\ (x-x_0)}\; ,
\]
e, dato che \(T_n^{(n-1)}(x;x_0) = f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)\) (basta fare i conti), si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x)- T_n^{(n-1)} (x;x_0)}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\ (x-x_0)} &= \lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)}{\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots 2}_{=n!}\ (x-x_0)}\\
&= \lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)}(x_0)}{n!\ (x-x_0)} - \frac{f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)}{n!\ (x-x_0)}\\
&= \lim_{x\to x_0} \frac{1}{n!}\ \frac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} - \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)\; ;
\end{split}
\]
dall'ipotesi di derivabilità \(n\) volte in \(x_0\) segue che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} = f^{(n)}(x_0)\; ,
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x)- T_n^{(n-1)} (x;x_0)}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\ (x-x_0)} &= \lim_{x\to x_0} \frac{1}{n!}\ \frac{f^{(n-1)} (x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} - \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)\\
&= \frac{1}{n!}\ f^{(n)} (x_0) - \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)\\
&= 0
\end{split}
\]
e conseguentemente:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)- T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} \stackrel{\text{H}^{n-1}}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n-1)} (x)- T_n^{(n-1)} (x;x_0)}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\ (x-x_0)} = 0\; ,
\]
come volevamo. \(\square\)

Dalla ii segue:
\[
\tag{P}
f(x) = T_n(x;x_0) + \text{o} \big( (x-x_0)^n\big) \qquad \text{quando } x\to x_0
\]
che si chiama formula di Taylor d'ordine \(n\) relativa ad \(f\) centrata in \(x_0\). Il termine \(\text{o} \big( (x-x_0)^n\big)\), che esprime in forma quantitativa la distanza tra \(f(x)\) e \(T_n(x;x_0)\), si chiama resto (o termine complementare) della formula di Taylor nella forma di Peano; tale resto si può mettere in molte altre forme[nota]La più nota è la forma di Lagrange, ma esistono anche la forma integrale, la forma di Cauchy e la forma di Schlömilch.[/nota], le quali, in generale, sotto ipotesi più forti sulla regolarità di \(f\) consentono di esprimere più precisamente la "bontà" dell'approssimazione garantita dalla formula di Taylor.

Inoltre, si può provare che:

Nelle stesse ipotesi del teorema precedente, se \(p_n(x)\) è un polinomio di grado \(\leq n\) che gode della ii, allora \(p_n(x) = T_n(x;x_0)\) e perciò \(p_n(x)\) gode pure delle i.
Quindi, il polinomio di Taylor \(T_n(x;x_0)\) è l'unico polinomio di grado \(\leq n\) che gode delle i & ii.

da cui segue che, non appena riesci a determinare (seguendo la strada che preferisci) un polinomio di grado \(\leq n\) tale che:
\[
f(x) = p_n(x) + \text{o} \big( (x-x_0)^n\big) \qquad \text{quando } x\to x_0
\]
allora \(p_n\) è il polinomio di Taylor d'ordine \(n\) relativo ad \(f\) centrato in \(x_0\).

[francicko]

x@gugo. Grazie tante per la dimostrazione che mi hai postato chiara e ben dettagliata!!
Volevo solo rivolgerti un ultima domanda, le ultime considerazioni che ho postato sopra, hanno una validità o sono prive totalmente di significato?