Intregrale doppio 2
[asvg]axes ( );
plot ("x");
dot ( [1 , 0.7] );
dot ( [-0.7 , -1] );
arc ( [-1 ,0 ] , [-0.7 , -1] );
arc ( [0 ,1] , [-1 ,0 ] );
arc ( [1 , 0.7] , [0, 1] );[/asvg]
$x^2+y^2=1$
l'integrale doppio da svolgere è:
$int int_A|x|dxdy=sqrt2/6-1/3$
secondo i miei calcoli!che sono stati impostati secondo l'integrale che c'è sotto:
come al solito devo impostare l'integrale doppio!
ci provo;
$int_-1^(-sqrt2/2)(int_(-sqrt1-x^2)^(sqrt1-x^2)dy)dx+int_(-sqrt2/2)^1(int_(sqrt1-x^2)^x dy)dx$
c'ho preso?
plot ("x");
dot ( [1 , 0.7] );
dot ( [-0.7 , -1] );
arc ( [-1 ,0 ] , [-0.7 , -1] );
arc ( [0 ,1] , [-1 ,0 ] );
arc ( [1 , 0.7] , [0, 1] );[/asvg]
$x^2+y^2=1$
l'integrale doppio da svolgere è:
$int int_A|x|dxdy=sqrt2/6-1/3$
secondo i miei calcoli!che sono stati impostati secondo l'integrale che c'è sotto:
come al solito devo impostare l'integrale doppio!
ci provo;
$int_-1^(-sqrt2/2)(int_(-sqrt1-x^2)^(sqrt1-x^2)dy)dx+int_(-sqrt2/2)^1(int_(sqrt1-x^2)^x dy)dx$
c'ho preso?
Risposte
non c'è nessuno che mi sa dire se ho sbagliato alla grande o se l'integrale che ho scritto è giusto?
Vediamo, intanto nel primo integrale l'estremo superiore della $y$ è $\sqrt(1-x^2)$ ma questo penso sia un errore di distrazione. Non capisco perchè fai variare il secondo integrale da $-\frac(sqrt(2))(2)$ a $1$, secondo me dovrebbe andare fino a $\frac(\sqrt(2))(2)$ inoltre io invertirei gli estremi della $y$ nel secondo integrale. Come fai tu viene $\frac(1)(2)-\frac(\pi)(8)$. Il risultato corretto è $\frac(\pi)(2)$ ovviamente. Come dico io viene $-\frac(\pi)(2)$. Dev'essere per il fatto che si integra anche sotto l'asse $x$ e quindi forse và cambiato di segno...Boh non sono esperto in integrali doppi però magari ciò che ho detto ti aiuta a riflettere poi magari interverrà qualcuno più competente^^
nel primo integrale c'è un errore di distrazione!
nel secondo:
1)la x varia tra -1 e 1 ho suddiviso così gli intervalli perchè mi risultava più comdo,ma non so se è giusto perchè ne so poco!
2)l'ordine di integrazione per la y l'ho messo così perchè ho pensato che la funzione con la radice fosse "più piccola" ma non essendoci un numero certe volte non la azzecco! te potresti dirmi come si può ragionare per capire quale va sopra e quale va sotto?
nel secondo:
1)la x varia tra -1 e 1 ho suddiviso così gli intervalli perchè mi risultava più comdo,ma non so se è giusto perchè ne so poco!
2)l'ordine di integrazione per la y l'ho messo così perchè ho pensato che la funzione con la radice fosse "più piccola" ma non essendoci un numero certe volte non la azzecco! te potresti dirmi come si può ragionare per capire quale va sopra e quale va sotto?
Ma va bene come hai diviso solo che l'intervallo più a destra termina con l'incrocio della retta con la circonferenza che è in $x=\frac(\sqrt(2))(2)$ e non in $x=1$. Per quanto rigurda il punto 2) anche io ho qualche dubbio in proposito quindi preferisco non dirti sciocchezze. Facciamo appello a qualche essere superiore del forum^^
ciao, non vorrei trascinarti magari in ancora più confusione....ma perchè non provi con un cambiamento di coordinate?la simmetria sferica è evidente
poi una cosa....gli estremi sono corretti ma all'interno dell'integrale credo vada messo anche il valore assoluto o no?
una cosa: quello che hai scritto nel primo post dovrebbe essere il risultato?
poi una cosa....gli estremi sono corretti ma all'interno dell'integrale credo vada messo anche il valore assoluto o no?
una cosa: quello che hai scritto nel primo post dovrebbe essere il risultato?
sì,è quello che viene a me elwood!
ho inserito il valore assoluto svolgendolo nel il primo integrale ho considerato -x per via dell'intervallo,e mi viene zero.
nel secondo,ho suddiviso l'integrale in due integrali:
$int_(-sqrt2/2)^0(int_(sqrt(1-x^2))^x(-xdx))dy+int_0^1(int_(sqrt(1-x^2))^x xdy)dx$
ora considera che ci sono errori di segno e che come mi ha fatto notare in_me_i_trust la x termina in $sqrt2/2$!!!!!!
e poi c'è l'indecisione su chi va sopra e chi va sotto delle due funzioni.....
se hai voglia di scrivermi il cambiamento di variabili ben volentieri....!!
ho inserito il valore assoluto svolgendolo nel il primo integrale ho considerato -x per via dell'intervallo,e mi viene zero.
nel secondo,ho suddiviso l'integrale in due integrali:
$int_(-sqrt2/2)^0(int_(sqrt(1-x^2))^x(-xdx))dy+int_0^1(int_(sqrt(1-x^2))^x xdy)dx$
ora considera che ci sono errori di segno e che come mi ha fatto notare in_me_i_trust la x termina in $sqrt2/2$!!!!!!
e poi c'è l'indecisione su chi va sopra e chi va sotto delle due funzioni.....
se hai voglia di scrivermi il cambiamento di variabili ben volentieri....!!
in polari dovrebbe venire una cosa del genere,anche se non sono sicuro al 100% su come considerare quel valore assouto...io l'ho fatto così (anche se come ti ripeto non ci metterei la mano sul fuoco):
$\int_((\pi)/4)^((\pi)/2)d\theta\int_0^1d\rho \ \rho^2\sin\theta \ \ + \ \ \int_((\pi)/2)^((5\pi)/4)d\theta\int_0^1d\rho \ -\rho^2\sin\theta$
cioè per la proprietà del valore assoluto ho considerato $\rho\sin\theta$ positivo con $x>0$ e negativo altrimenti.
Il risultato è però $(\sqrt{2})/3$
$\int_((\pi)/4)^((\pi)/2)d\theta\int_0^1d\rho \ \rho^2\sin\theta \ \ + \ \ \int_((\pi)/2)^((5\pi)/4)d\theta\int_0^1d\rho \ -\rho^2\sin\theta$
cioè per la proprietà del valore assoluto ho considerato $\rho\sin\theta$ positivo con $x>0$ e negativo altrimenti.
Il risultato è però $(\sqrt{2})/3$
forse è più semplica ma nn sono d'accordo:
$x=rho cos theta$
$y=rho sen theta$
$0<=rho<=1$
$0<=theta<=pi$
allora:
$int_(pi/4)^(pi/2)(int_0^1 rho^2drho)cos theta d theta + int_(pi/2)^(3/4pi)(int_0^1 -rho^2drho)costheta d theta$
ma nn sono per niente sicura neanche io!
$x=rho cos theta$
$y=rho sen theta$
$0<=rho<=1$
$0<=theta<=pi$
allora:
$int_(pi/4)^(pi/2)(int_0^1 rho^2drho)cos theta d theta + int_(pi/2)^(3/4pi)(int_0^1 -rho^2drho)costheta d theta$
ma nn sono per niente sicura neanche io!
è?ma guarda che la circonferenza è unitaria!perchè $\rho$ lo fai variare tra 0 e 3???e poi nell'integrale metti quegli altri estremi?
Guarda l'unico dubbio che ho sulla mia risoluzione è come va considerato il valore assoluto....per il resto sono sicuro
Guarda l'unico dubbio che ho sulla mia risoluzione è come va considerato il valore assoluto....per il resto sono sicuro
scusa!!!!
il raggio è uno!
ho preso una svista!
l'angolo tra il II e il III quadrante:
non è $pi/2+pi/4$?
e poi $x=pcos theta$ non credi?
il raggio è uno!
ho preso una svista!
l'angolo tra il II e il III quadrante:
non è $pi/2+pi/4$?
e poi $x=pcos theta$ non credi?
ahia.....hai ragione per la x....ma l'angolo è giusto....scusa di solito da dove parti a contare gli angoli?io dall'origine.
non puoi contarli considerando come origine l'angolo di partenza
non puoi contarli considerando come origine l'angolo di partenza
sorry,mi sa che hai ragione anche te!
son partita considerando lo zero sull'asse y per il secondo tratto!
per il resto poi,sul valore assoluto intendo,ci troviamo,no?
aspettiamo conferme dall'altoooooo
son partita considerando lo zero sull'asse y per il secondo tratto!
per il resto poi,sul valore assoluto intendo,ci troviamo,no?
aspettiamo conferme dall'altoooooo
ma quando ce l'hai l'esame?da tutti questi messaggi sembrerebbe domani 
che uni fai?matematica?
che uni fai?matematica?
Allora io non ero passato alle polari perchè credevo ti servisse in quella forma ma ovviamente con il cambio di coordinate l'integrale è immediato. Per ricavare i nuovi limiti di integrazione basta sostituire $x=\rho\cos\theta$ e $y=\rho\cos\theta$ nelle disequazioni del dominio.
$x^(2)+y^(2)\leq 1\Rightarrow \rho\leq 1$
$y\geq x\Rightarrow \tg\theta\geq 1\Rightarrow \theta\in {[\frac(\pi)(4), \frac(\pi)(2)]\ \uu \ [\frac(5)(4)\pi, \frac(3)(2)\pi]}$
L'integrale risulta quindi
$\int_(\frac(\pi)(4))^(\frac(\pi)(2))\int_(0)^{1}\ d\rho d\theta+\int_(\frac(5)(4)\pi)^(\frac(3)(2)\pi)\int_(0)^{1}\ d\rho d\theta=\frac(\pi)(2)$
$x^(2)+y^(2)\leq 1\Rightarrow \rho\leq 1$
$y\geq x\Rightarrow \tg\theta\geq 1\Rightarrow \theta\in {[\frac(\pi)(4), \frac(\pi)(2)]\ \uu \ [\frac(5)(4)\pi, \frac(3)(2)\pi]}$
L'integrale risulta quindi
$\int_(\frac(\pi)(4))^(\frac(\pi)(2))\int_(0)^{1}\ d\rho d\theta+\int_(\frac(5)(4)\pi)^(\frac(3)(2)\pi)\int_(0)^{1}\ d\rho d\theta=\frac(\pi)(2)$
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