Intregrale definito
Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio.
Calcolare l'integrale $int_{0}^{1} (sinx^4)/x dx$ con errore inferiore a $10^-2$.
La funzione $sint$ ha il seguente sviluppo in serie di Maclaurin: $sint=sum_{n=0}^{+oo} ((-1)^n)/((2n+1)!)t^(2n+1)$.
Ponendo $t=x^4$ e dividendo per x si ottiene che $(sinx^4)/x=sum_{n=0}^{+oo} ((-1)^n)/((2n+1)!)x^(8n+3)$. A questo punto bisogna vedere se è possibile applicare il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Bisognerà quindi verificare l'uniforme convergenza della serie a destra nella precedente equazione per $x in [0,1]$. A questo punto però non so come andare avanti...
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio.
Calcolare l'integrale $int_{0}^{1} (sinx^4)/x dx$ con errore inferiore a $10^-2$.
La funzione $sint$ ha il seguente sviluppo in serie di Maclaurin: $sint=sum_{n=0}^{+oo} ((-1)^n)/((2n+1)!)t^(2n+1)$.
Ponendo $t=x^4$ e dividendo per x si ottiene che $(sinx^4)/x=sum_{n=0}^{+oo} ((-1)^n)/((2n+1)!)x^(8n+3)$. A questo punto bisogna vedere se è possibile applicare il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Bisognerà quindi verificare l'uniforme convergenza della serie a destra nella precedente equazione per $x in [0,1]$. A questo punto però non so come andare avanti...
Risposte
Puoi provare la convergenza uniforme tramite la convergenza totale. Basta considerare che potresti maggiorare la serie ottenuta con il suo sup nell'intervallo che ti interessa.
$text(sup)_{x in [0,1]}(x^(8n+3)/((2n+1)!))=1/((2n+1)!)$.
La serie $sum_{n=0}^{+oo}1/((2n+1)!)$ è convergente, quindi la serie di partenza è totalmente convergente in [0,1]. Per il test di Weierstrass sarà quindi uniformemente convergente nel medesimo intervallo. Giusto?
La serie $sum_{n=0}^{+oo}1/((2n+1)!)$ è convergente, quindi la serie di partenza è totalmente convergente in [0,1]. Per il test di Weierstrass sarà quindi uniformemente convergente nel medesimo intervallo. Giusto?
esatto 
Ti ringrazio infinitamente. Buona domenica.
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