Intorno bucato

[TS778LB]

In uno spazio metrico ogni intorno circolare di un punto è un insieme aperto. Se a tale intorno tolgo il centro (intorno bucato), esso continua ad essere aperto?

[solaàl]

Sì, il suo complementare è un'unione finita di chiusi. (il complementare della palla aperta, e un punto, che in uno spazio metrico è chiuso)

[Bokonon]

[ot][ex]solaàl
Date due palle tangenti non bucabili, dimostrare che inducono uno scrotomorfismo[/ot]

[TS778LB]

Quindi non solo è vero che un sottoinsieme di uno spazio metrico si dice chiuso se il suo complementare è aperto ma anche il viceversa? Quindi se un sottoinsieme di uno spazio metrico è aperto allora il suo complementare è un chiuso? E quest'ultima affermazione potrei utilizzarla per verificare se un insieme è aperto ragionando sul suo complementare. Questa simmetria di comportamento tra aperto e chiuso deriva dal fatto che il complementare del complementare di un insieme è l'insieme stesso?
Thank's

[solaàl]

"TS778LB":Quindi non solo è vero che un sottoinsieme di uno spazio metrico si dice chiuso se il suo complementare è aperto ma anche il viceversa?

E' un fatto generale che non c'entra nulla con gli spazi metrici: se \((X,\tau)\) è uno spazio topologico, ogni \(U\in \tau\) si chiama "aperto", e l'insieme \(\tau^\text{c}\) degli insiemi della forma \(U^\text{c} := X\smallsetminus U\) per qualche \(U\in\tau\) si dice la classe dei "chiusi" di \(X\).

Quindi se un sottoinsieme di uno spazio metrico è aperto allora il suo complementare è un chiuso?

Sì, ovviamente, per definizione di cosa significa "chiuso".

Questa simmetria di comportamento tra aperto e chiuso deriva dal fatto che il complementare del complementare di un insieme è l'insieme stesso?
Thank's

No, deriva dalla definizione di topologia.