Intorni sferici
ciao ! devo dimostrare che se $ 0 < r < R $ la palla di raggio $ R $ contiene quella di raggio $ r $ e calcolare il diametro di quella di raggio maggiore.ho pensato di sfruttare il fatto che esse sono insiemi aperti, ma volendo sfruttare le proprieta della distanza come faccio? per il diametro so solo che è il sup ${d(x,y)} $ dove x e y sono nella palla. ma come applico la definizione? grazie.
Risposte
Comincia a dimostrare la prima parte

l' ho fatto ! ma col concetto di insieme aperto, ho fatto vedere che poichè la palla è un insieme aperto, quella di raggio maggiore ne contiene un'altra, di raggio minore il cui centro è un punto qualsiasi della palla grande. e data l'arbitrarietà del centro, lo scelgo come coincidente all'altro. è corretto come ragionamento? io però volevo anche usare il concetto di distanza euclidea ma non so come fare...
Non ho capito il tuo ragionamento. Come fai partendo dal concetto di insieme aperto a dimostrare quanto dici?
Dal testo pensavo il centro fosse fissato dato che parla solo di raggio e non di punto delle palle...
Per utilizzare il concetto di distanza ragiona mostrando che tutti i punti che soddisfano la condizione di appartenenza alla palla più piccola appartengono anche a quella più grande (se i centri sono gli stessi come credo)
Dal testo pensavo il centro fosse fissato dato che parla solo di raggio e non di punto delle palle...
Per utilizzare il concetto di distanza ragiona mostrando che tutti i punti che soddisfano la condizione di appartenenza alla palla più piccola appartengono anche a quella più grande (se i centri sono gli stessi come credo)
$ B(xo,R) $ è aperta, quindi $ B(x,r) C B(xo,R) $ dove x è un punto qualsiasi di $ B(xo,R) $ poichè e qualsiasi, pongo $ x=xo $ ... non va bene vero?
per le distanze allora:
$ B(xo,r)={||x-xo || < r} $
$ ||x-xo || < r < R $
e poi????
per le distanze allora:
$ B(xo,r)={||x-xo || < r} $
$ ||x-xo || < r < R $
e poi????
