Intorni e retta ampliata $RR^n$
Sia $RR^*=RR uu {-\infty} uu {+\infty}$; su $RR^*$ si può definire una struttura topologica definendo gli intorni nei punti $-\infty$ e $+\infty$.
Il Salsa-Pagani definisce un intorno di $+\infty$ come qualunque semiretta del tipo ${x in RR^* :a < x <= +\infty}$.
Per questa definizione ho due dubbi:
1)In questo caso i possibili intorni del punto $+\infty$ sono tutte le semirette che partono da $+\infty$ e che si "spostano" a sinistra sino al punto $x$ che è minore del "raggio" (dalla definizione di intorno) $a$ ?
2) Se il punto 1) è vero allora posso considerare un "intorno sinistro" di un punto? Analogo discorso per il punto $-\infty$ e quindi di un eventuale "intorno destro" ?
Spero di essere stato chiaro....
Il Salsa-Pagani definisce un intorno di $+\infty$ come qualunque semiretta del tipo ${x in RR^* :a < x <= +\infty}$.
Per questa definizione ho due dubbi:
1)In questo caso i possibili intorni del punto $+\infty$ sono tutte le semirette che partono da $+\infty$ e che si "spostano" a sinistra sino al punto $x$ che è minore del "raggio" (dalla definizione di intorno) $a$ ?
2) Se il punto 1) è vero allora posso considerare un "intorno sinistro" di un punto? Analogo discorso per il punto $-\infty$ e quindi di un eventuale "intorno destro" ?
Spero di essere stato chiaro....
Risposte
"GundamRX91":
Sia $RR^*=RR uu {-\infty} uu {+\infty}$; su $RR^*$ si può definire una struttura topologica definendo gli intorni nei punti $-\infty$ e $+\infty$.
Il Salsa-Pagani definisce un intorno di $+\infty$ come qualunque semiretta del tipo ${x in RR^* :a < x <= +\infty}$.
Per questa definizione ho due dubbi:
1)In questo caso i possibili intorni del punto $+\infty$ sono tutte le semirette che partono da $+\infty$ e che si "spostano" a sinistra sino al punto $x$ che è minore del "raggio" (dalla definizione di intorno) $a$ ?
2) Se il punto 1) è vero allora posso considerare un "intorno sinistro" di un punto? Analogo discorso per il punto $-\infty$ e quindi di un eventuale "intorno destro" ?
Spero di essere stato chiaro....
Per la verità non capisco cosa intendi nella 1). Dato $a$ hai una semiretta che non si sposta. Volendo avere "qualcosa che si sposta" poi dire che l'intorno è fatto dalle $x$ che si spostano da $+\infty$ fino ad $a$. Nota anche che quanto hai scritto nella 1), cioè " sino al punto $x$", non ha senso dato che non c'è nessun $x$ nella definizione di intorno - casomai c'è $a$ mentre la $x$ che compare nella formula è una cosiddetta "variabile muta".
Riguardo alla 2 ti confermo che si possono introdurre gli intorni destri e sinistri di un punto qualunque (e definire di conseguenza limite destro e sinistro). Nel caso di $+\infty$ ($-\infty$) la nozione di intorno e intorno sinistro (destro) coincidono.
Per il punto 1) intendevo in effetti dire quello che hai scritto tu 
Per il punto 2) ti ringrazio per la conferma
Per il punto 2) ti ringrazio per la conferma
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