Intorni

[Bad90]

Ho risposto al seguente quesito, ma non sono sicuro di aver fatto bene....

Trovare due intervalli di ampiezza $5$, il primo che sia un intorno di $1$ ma non di $ 2 $ , il secondo che sia un intorno di due ma non di $1$. In generale, dati due punti a e b, è sempre possibile determinare un intervallo di ampiezza assegnata che sia un intorno di a ma non di b?

$ I_(r) = (x_0 - r, x_0 + r) $ sarà $ {x in R: |x-x_0|<=r} $

$ I_(r1) = (1 - 3.1, 1 + 1.9) $ (primo intervallo)

$ I_(r2) = (2 - 0.9, + 2+4.1) $ (secondo intervallo)

Alla seconda domanda, pensandoci, dico che non è possibile sempre, perchè può esserci almeno un caso in cui questo non è possibile!

[Rigel1]

"Bad90":In generale, dati due punti a e b, è sempre possibile determinare un intervallo di ampiezza assegnata che sia un intorno di a ma non di b?

E' possibile se e solo se \(a\neq b\). (Sto assumendo implicitamente che si stia parlando di \(\mathbb{R}\) munito dell'usuale topologia.)

[Mino_01]

buon dì
mi permetto di suggerirti di considerare
gli intorni di punti come insiemi aperti

$T={x: |x-x0|
per r positivo.
Per sorvolare equivoci nello studio della topologia elementare della retta .

Ciao
Mino

[Bad90]

"Rigel":[quote="Bad90"]In generale, dati due punti a e b, è sempre possibile determinare un intervallo di ampiezza assegnata che sia un intorno di a ma non di b?

E' possibile se e solo se \(a\neq b\). (Sto assumendo implicitamente che si stia parlando di \(\mathbb{R}\) munito dell'usuale topologia.)[/quote]

Si potrebbe fare un esempio con dei numeri

[Bad90]

"Mino_01":buon dì
mi permetto di suggerirti di considerare
gli intorni di punti come insiemi aperti

$T={x: |x-x0|
per r positivo.
Per sorvolare equivoci nello studio della topologia elementare della retta .

Ciao
Mino

Ma esistono casi in cui si potrebbe dire $T={x: |x-x0| <=r }$

[vict85]

Usa semplicemente il fatto che \(\displaystyle \mathbb{R} \) è denso e quindi, in particolare, esiste il punto \(\displaystyle m = a + \frac{b-a}{2} \) (supponendo che sia \(\displaystyle b>a \)) e prendere, nel caso si richieda ampiezza \(\displaystyle l \), l'intervallo \(\displaystyle [m-l, m] \). Il caso con \(\displaystyle b

Cita

Segnala

[Bad90]

"vict85":Usa semplicemente il fatto che \(\displaystyle \mathbb{R} \) è denso e quindi, in particolare, esiste il punto \(\displaystyle m = a + \frac{b-a}{2} \) (supponendo che sia \(\displaystyle b>a \)) e prendere, nel caso si richieda ampiezza \(\displaystyle l \), l'intervallo \(\displaystyle [m-l, m] \). Il caso con \(\displaystyle b

Non mi è tanto chiaro, ma vedo che hai espresso il raggio $ r = (b-a)/2 $

[Bad90]

Ho risolto anche questo quesito:

Esiste un' intervallo di ampiezza 6 che sia intorno di $-3$ e di $+2$? E che sia intorno di $-2$ e $+4$? Può esistere un intervallo che sia intorno di $-3$ e di $+3$ ma non di $ -2 $ ?

Prima domanda.

Si, esiste un intervallo di ampiezza $6$ che in questo caso sia intorno di $-3$ e $+2$. Ecco quì:


$ I_(r) = (x_0 - r, x_0 + r) $ sarà $ {x in R: |x-x_0|
$ I_(r1) = (6 - 3.1, 6 + 2.9) $ (primo intervallo)

Ho usato solo il $
Seconda domanda.

No.

Terza domanda.

No.

[Bad90]

Quesito 10

Determinare su $ mathbb(R) $ l'insieme $ E $ dei punti $ x $ per i quali è $ x^2 <1 $. Precisare se $ E $ è limitato o illimitato

Help!

Io penso che si tratta di un numero limitato superiormente!

E allora dico questo:

$ EE 1 inmathbb(R |AA) x in E : x^2<1 $

[Kashaman]

ciao Bad. Per quali $x \in RR$ è verificata $x^2<1$?

[Bad90]

"Kashaman":ciao Bad. Per quali $x \in RR$ è verificata $x^2<1$?

Potrebbe essere un numero frazionario, esempio $ 1/2^2 = 0.25 $ !

E' possibile???

[vict85]

"Bad90":[quote="vict85"]Usa semplicemente il fatto che \(\displaystyle \mathbb{R} \) è denso e quindi, in particolare, esiste il punto \(\displaystyle m = a + \frac{b-a}{2} \) (supponendo che sia \(\displaystyle b>a \)) e prendere, nel caso si richieda ampiezza \(\displaystyle l \), l'intervallo \(\displaystyle [m-l, m] \). Il caso con \(\displaystyle b

Non mi è tanto chiaro, ma vedo che hai espresso il raggio $ r = (b-a)/2 $ [/quote]

L'intervallo non è centrato in \(\displaystyle a \), lo contiene e vasta. Inoltre \(\displaystyle \frac{b-a}{2} \) non è il raggio ma solo la distanza da \(\displaystyle a \) fal bordo. Ho segnato con \(\displaystyle l \) l'ampiezza dell'intervallo.

[vict85]

"Bad90":[quote="Kashaman"]ciao Bad. Per quali $x \in RR$ è verificata $x^2<1$?

Potrebbe essere un numero frazionario, esempio $ 1/2^2 = 0.25 $ !

E' possibile???[/quote]

Non capisco perché ti limiti all'uso dei numeri, tra l'altro in \(\displaystyle \mathbb{Q} \). Astrai dall'esempio numerico, quali numeri hanno radice quadrata minore di \(\displaystyle 1 \). Ti aiuto, è un intervallo aperto ed è limitato sia superiormente che inferiormente.

[Bad90]

"vict85":

L'intervallo non è centrato in \(\displaystyle a \), lo contiene e vasta. Inoltre \(\displaystyle \frac{b-a}{2} \) non è il raggio ma solo la distanza da \(\displaystyle a \) fal bordo. Ho segnato con \(\displaystyle l \) l'ampiezza dell'intervallo.

Si ma il mio testo chiama raggio \(\displaystyle \frac{b-a}{2} \) e centro \(\displaystyle \frac{b+a}{2} \)

[Bad90]

"vict85":

Non capisco perché ti limiti all'uso dei numeri, tra l'altro in \(\displaystyle \mathbb{Q} \). Astrai dall'esempio numerico, quali numeri hanno radice quadrata minore di \(\displaystyle 1 \). Ti aiuto, è un intervallo aperto ed è limitato sia superiormente che inferiormente.

Quesito 10

Determinare su $ mathbb(R) $ l'insieme $ E $ dei punti $ x $ per i quali è $ x^2 <1 $. Precisare se $ E $ è limitato o illimitato

Essendo un quadrato, si tratta di un numero limitato superiormente e inferiormente, !


$ EE x inmathbb(R |AA) x in E : x^2<1 $, cioè $ -1 < x < 1 $

Si tratta di $ x= +-1 $ e quindi $ -1 < x < 1 $

[Bad90]

..

[vict85]

"Bad90":[quote="vict85"]

L'intervallo non è centrato in \(\displaystyle a \), lo contiene e vasta. Inoltre \(\displaystyle \frac{b-a}{2} \) non è il raggio ma solo la distanza da \(\displaystyle a \) fal bordo. Ho segnato con \(\displaystyle l \) l'ampiezza dell'intervallo.

Si ma il mio testo chiama raggio \(\displaystyle \frac{b-a}{2} \) e centro \(\displaystyle \frac{b+a}{2} \) [/quote]

Se stai lavorando con l'intervallo \(\displaystyle (a,b) \) sono d'accordo ma io avevo fatto riferimento all'intervallo \(\displaystyle \bigl(\frac{b+a}{2} - 2r, \frac{b+a}{2}\bigr) \) e \(\displaystyle \frac{b+a}{2} \) non è certo il centro di questo intervallo.

[Bad90]

Quesito 11

L'insieme $ E {x in mathbb(R) | x = (n-1)/n, n in mathbb(N)} $ e limitato o illimitato? Determinare l'estremo superiore e l'estremo inferiore e dire se $ E $ ha massimo e minimo.

Ma ciò che non sto capendo è che io ho un numero $ x $ che è insieme dei numeri reali, bene, ma poi non capisco il perchè esprime $ x = (n-1)/n, n in mathbb(N) $ , insomma, come fa ad essere un numero naturale se a me sembra che ci sia una frazione e quindi dovrebbe essere in $ mathbb(Q) $ , Allora, se si riferisce solo ad $ n $, allora si che potrà essere in $ mathbb(N) $, ma non farebbe prima a dire direttamente che $ E {x in mathbb(R) | x = (n-1)/n, x in mathbb(Q)} $

Che io sappia, esistono numeri reciproci, che sono illimitati inferiormente e superiormente!
Ma non sto riuscendo a ragionare in questo caso

[Gendarmevariante1]

"Bad90":Quesito 11

L'insieme $ E {x in mathbb(R) | x = (n-1)/n, n in mathbb(N)} $ e limitato o illimitato? Determinare l'estremo superiore e l'estremo inferiore e dire se $ E $ ha massimo e minimo.

Ma ciò che non sto capendo è che io ho un numero $ x $ che è insieme dei numeri reali, bene, ma poi non capisco il perchè esprime $ x = (n-1)/n, n in mathbb(N) $ , insomma, come fa ad essere un numero naturale se a me sembra che ci sia una frazione e quindi dovrebbe essere in $ mathbb(Q) $ , Allora, se si riferisce solo ad $ n $, allora si che potrà essere in $ mathbb(N) $, ma non farebbe prima a dire direttamente che $ E {x in mathbb(R) | x = (n-1)/n, x in mathbb(Q)} $

Che io sappia, esistono numeri reciproci, che sono illimitati inferiormente e superiormente!
Ma non sto riuscendo a ragionare in questo caso

Ciao!
Allora... premesso che la discussione mi sembra un po' nonsense provo a rispondere a questo ultimo quesito... innanzitutto $x$ è un numero reale (non un "insieme dei numeri reali" come hai scritto tu... vabbè, immagino che tu ti sia semplicemente confuso!!).
Come sai, i numeri reali sono tutti quei numeri che sono naturali, interi, razionali o irrazionali. In particolare, tutti i naturali sono anche interi, e tutti gli interi sono anche razionali.

La scrittura $ x = (n-1)/n, n in mathbb(N) $ NON afferma che $x$ appartiene ad $mathbb(N) $!!
Ti dice solo che $x$ è uno qualsiasi fra i numeri reali che sono scrivibili nella forma $(n-1)/n$, dove $n$ è un numero naturale! L'insieme $E$ è l'insieme formato da TUTTI questi $x$. Quindi questo insieme contiene ad esempio $x=1/2$ (infatti se $n=2$ allora $x = (2-1)/2 = 1/2$), poi anche $x=2/3$ se $n=3$ eccetera.
Come dici giustamente, $x$ non è un numero naturale! Infatti tutti i risultati che trovi al variare di $n$ sono delle frazioni! (eccetto per per $n=1$, trovi $x=0$ che è sia un numero razionale che naturale).

Altra cosa: sbagli terminologia quando dici che "un numero è illimitato", perché "illimitato" è un aggettivo che si riferisce a un insieme. Un numero esprime una quantità ben definita, non può essere limitato o illimitato. E' come dire "ho visto uno spillo molto spazioso", non ha senso... semmai un contenitore può essere stretto o spazioso!

[Bad90]

Da varie ricerche in merito, sono riuscito a trovare che questo insieme:

$ E {x in mathbb(R) | x = (n-1)/n, n in mathbb(N)} $

è limitato sia inferiormente che superiormente, ma non ho capito tanto il senso di questo

Poi il testo mi dice che il risultato è $ i = m = 0 $ e $ s= 1 $ .

Come si arriva al risultato del testo

[Gendarmevariante1]

"Bad90":Da varie ricerche in merito, sono riuscito a trovare che questo insieme:

$ E {x in mathbb(R) | x = (n-1)/n, n in mathbb(N)} $

è limitato sia inferiormente che superiormente, ma non ho capito tanto il senso di questo

Poi il testo mi dice che il risultato è $ i = m = 0 $ e $ s= 1 $ .

Come si arriva al risultato del testo

Secondo me devi fare un mini ripasso di teoria!!
Magari l'hai capita benissimo già da solo, ma provo a rispiegartela: nella terminologia di $RR$, insieme LIMITATO INFERIORMENTE vuol dire che il minore di tutti i numeri che stanno in quell'insieme è maggiore di $-infty$, ossia che esistono infiniti numeri minori di lui, che non stanno nell'insieme. Ossia ancora, questo insieme "si ferma" a un numero preciso, senza scendere fino a meno infinito.
I numeri che "restano" fino a meno infinito si chiamano MINORANTI. Il minorante che fra tutti è più "vicino" all'insieme si chiama ESTREMO INFERIORE, e può sia appartenere all'insieme che non appartenervi.

Un insieme LIMITATO SUPERIORMENTE è analogamente un insieme il cui maggiore elemento è minore di $+infty$.
I numeri che restano fino a più infinito si chiamano MAGGIORANTI, e il primo di loro si chiama ESTREMO SUPERIORE, sia che appartenga o non appartenga all'insieme.
(è una spiegazione che forse farebbe inorridire qualunque matematico serio, ma è solo per farti capire).

Un insieme si dice LIMITATO se è sia limitato superiormente che inferiormente.

.......................................

Per dimostrare che un insieme è limitato, o limitato superiormente o inferiormente, quindi, basta trovare un numero che non stia nell'insieme e che sia più grande (o più piccolo) di qualsiasi numero che sta nell'insieme.

........................................


Nel tuo caso:
Scriviamo innanzitutto alcuni elementi dell'insieme $E$, così capiamo meglio su cosa stiamo lavorando: facendo assumere ad $n$ tutti i valori possibili in $NN$, troviamo

$E = {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, ...}$ e così via.

Le frazioni rappresentano i numeri $x$, e crescono: infatti se provi con la calcolatrice, trovi
1/2 = 0,5
2/3 = 0,66...
3/4 = 0,75
4/5 = 0,8
5/6 = 0,83...
6/7 = 0,85...
eccetera.

Innanzitutto: i numeri della forma $x = (n-1)/n$ sono fatti in modo che il numeratore sia sempre più piccolo del denominatore, giusto? $n-1 < n$. Quindi, anche se crescono, le frazioni che rappresentano $x$ non potranno mai essere più grandi di 1!! Di conseguenza tutti i numeri più grandi di 1 sono maggioranti per l'insieme $E$.
Inoltre, se calcoli ancora altre frazioni di $E$ con valori di $n$ sempre più grandi, scopri che i valori di $x$ corrispondenti si avvicinano sempre di più ad 1, senza mai raggiungerlo. Ad esempio:
$452/453 ≈ 0,997...$
$1900/1901 ≈ 0,9994...$
Quindi possiamo dire che 1 è l'estremo superiore dell'insieme, ma non è anche il massimo, dato che 1 non appartiene ad $E$.

Il tuo insieme è anche limitato inferiormente: infatti tutti i numeri $x$ che ci stanno dentro sono positivi! Quindi non esistono numeri in $E$ minori di zero, che è l'estremo inferiore.
In questo caso, l'estremo inferiore appartiene anche all'insieme $E$, e perciò si chiama MINIMO dell'insieme.