Intorni

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jorja92

12 dic 2012, 15:20

Ciao, scusate la domanda, ma non ho capito gli intorni di un punto. Cioè, nella teoria ho anche capito, so cosa sono, ecc., ma poi non riesco a fare gli esercizi. Riuscite a spiegarmi cosa devo fare, esempio, in alcuni esercizi che vi scrivo?
Grazie.

1) Indicare un intorno del punto 1 e un intorno circolare del punto 3.
2) indicare un intorno destro del punto 5 e un intorno sinistro del punto -3.
3) verificare che l'insieme delle soluzioni della disequazione 3x^2-22x+7>0 costituisce un intorno di infinito.

Questi alcuni esercizi. Se riuscite a spiegarmi e farmi vedere come si fanno poi li tengo da esempio. Grazie!!!!!

Risposte

5mrkv

12 dic 2012, 16:38

Definendo con \(a \[(a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a questi insiemi formano una base per una topologia in \(\mathbb{R}\). Nel senso che unioni di insiemi di questo tipo hanno le proprietà di un aperto. Dato che la proprietà usata per definirli è la relazione d'ordine in \(\mathbb{R}\) la topologia che ne deriva è detta Order Topology (non conosco la traduzione propria). Lo stesso discorso vale per i chiusi con
\[[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\leq x\leq b\}\]
L'aperto precedente è aperto anche con \(-\infty\) al posto di \(a\) o \(+\infty\) al posto di \(b\). Lo stesso vale per il precedente insieme chiuso, solo che bisogna sostituire la partentesi quadra dalla parte dell'infinito con una tonda cambiando quindi tipo di disuguaglianza, es:
\[[a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}:a\leq x<\infty\}\]
Un intorno o è un aperto contenente il punto, o un insieme contenente un aperto contente il punto, a seconda della definizione che usi. Se è la seconda allora anche \((a,b]\) e \([b,a)\) sono intorni validi. Intorno destro e sinistro a questo punto sono definizioni intuitive.