Intervallo soluzioni eq.differenziale
ciao a tutti,
ho un problema col definire il più ampio intervaqllo di soluzioni diun'equazione differenziale.
in pratica non capisco se il mio procedimento è giusto.
In pratica io inizialmente mi calcolo il dominio iniziale della mia eq differenziale.Supponendo che sia questa: $y'=y/x$
allora avrò che $x!=0$.
Poi per calcolarmi l'intervallo faccio praticamente l'intersezione tra dominio iniziale e dominio finale della soluzione.Supponendo che ad esempio la soluzione finale sia $y=x$ per cauchy $y(1)=1$, allora deduco che alla fine il più ampio intervallo è ]0,infinito[.Se avessi avuto invece come condizioni iniziali $y(-1)=2$ per esempio l'intervallo era da prendere tra ]-infinito,0[.
Adesso volevo sapere se il ragionamento è giusto..grazie!
ho un problema col definire il più ampio intervaqllo di soluzioni diun'equazione differenziale.
in pratica non capisco se il mio procedimento è giusto.
In pratica io inizialmente mi calcolo il dominio iniziale della mia eq differenziale.Supponendo che sia questa: $y'=y/x$
allora avrò che $x!=0$.
Poi per calcolarmi l'intervallo faccio praticamente l'intersezione tra dominio iniziale e dominio finale della soluzione.Supponendo che ad esempio la soluzione finale sia $y=x$ per cauchy $y(1)=1$, allora deduco che alla fine il più ampio intervallo è ]0,infinito[.Se avessi avuto invece come condizioni iniziali $y(-1)=2$ per esempio l'intervallo era da prendere tra ]-infinito,0[.
Adesso volevo sapere se il ragionamento è giusto..grazie!
Risposte
Direi di no! Mi sa che non hai capito bene cosa fare! Il tuo problema è determinare il più ampio intervallo di definizione delle soluzioni di un eq. differenziale se ho capito bene (ti prego di confermare ciò che ho scritto)!
sisi hai capito bene.Ma allora come dovrei procedere??
fin'ora non sono riuscito a comprendere bene come trovarmi questo intervallo..
te ne sarei molto grato se mi spiegassi un pò come fare(è da tempo che ci provo ma su internet e sui libri non ho trovato nulla a riguardo )
grazie! 
fin'ora non sono riuscito a comprendere bene come trovarmi questo intervallo..
te ne sarei molto grato se mi spiegassi un pò come fare(è da tempo che ci provo ma su internet e sui libri non ho trovato nulla a riguardo
)grazie!
Devi semplicemente determinare il campo di esistenza della soluzione del problema di Cauchy. Se posti un esercizio magari ti possiamo aiutare meglio.
ok.
allora preso questo problema:
$y'=(sqrt(1-y^2))/(x+1)$
$y(1)=1/2$
è a variabili separabili, svolgendo l'integrale avrò che $arcsen(y)=log|x+1|+c$, quindi $y=sen(log|x+1|+c)$.
imponendo cauchy $y=sen(log|x+1|+pi/6-log2)$.
in questo esercizio innanzitutto so per certo che $x!=-1$ e fin quì credo che sia tutto giusto
ma adesso come mi trovo il CE della soluzione?
allora preso questo problema:
$y'=(sqrt(1-y^2))/(x+1)$
$y(1)=1/2$
è a variabili separabili, svolgendo l'integrale avrò che $arcsen(y)=log|x+1|+c$, quindi $y=sen(log|x+1|+c)$.
imponendo cauchy $y=sen(log|x+1|+pi/6-log2)$.
in questo esercizio innanzitutto so per certo che $x!=-1$ e fin quì credo che sia tutto giusto
ma adesso come mi trovo il CE della soluzione?
Qual'è il CE del seno?
$-1<=x<=1$
No! Quello è il dominio della funzione $arcsin(x)$. Questa è roba di analisi uno. La funzione seno esiste $AA x in RR$ quindi la tua soluzione esiste in tutto il campo dei numeri reali salvo alcuni accorgimenti che sono dettati dalle condizioni di esistenza imposte dall'argomento del seno.
ops scusa vero
ma allora in pratica per determinare l'intervallo devo SOLO trovarmi il campo di esistenza della soluzione $y(x)$??
in questo caso devo fare l'intersezione dei vari campi di esistenza del sen e del log?
ma allora in pratica per determinare l'intervallo devo SOLO trovarmi il campo di esistenza della soluzione $y(x)$??
in questo caso devo fare l'intersezione dei vari campi di esistenza del sen e del log?
Ma ovvio. Il tuo problema ti chiede l'intervallo di definizione delle soluzioni del problema di Cauchy. Quale intervallo volevi determinare altrimenti!?
Ovviamente la scelta dell'intervallo non è casuale, devi comunque tener conto delle condizioni iniziali.
Ovviamente la scelta dell'intervallo non è casuale, devi comunque tener conto delle condizioni iniziali.
ah ecco,quindi se avrei avuto ad esempio che l'intervallo era tra [-inf,o] e [0,+ inf] , date le condizioni iniziali dovevo prendere solo l'intervallo [0,+inf]??
grazie ancora..
comunque controllando l'esercizio svolto da un mio collega, ho notato che questo studia l'intervallo in questo modo:
$-pi/2
grazie ancora..
comunque controllando l'esercizio svolto da un mio collega, ho notato che questo studia l'intervallo in questo modo:
$-pi/2
Prendendo come esempio il tuo esercizio allora hai che il CE è:
$x+1>0 <=> x> -1$ allora hai $D=RR-{-1}$. Per la tua condizione iniziale allora sceglierai come intervallo di definizione $(-1,+infty)$.
Capito?
$x+1>0 <=> x> -1$ allora hai $D=RR-{-1}$. Per la tua condizione iniziale allora sceglierai come intervallo di definizione $(-1,+infty)$.
Capito?
perfetto! capito adesso
quindi in pratica l'intervallo fatto dal mio collega è sbagliato a questo punto..
quindi in pratica l'intervallo fatto dal mio collega è sbagliato a questo punto..
se è riferito allo stesso esercizio che abbiamo fatto adesso si, è sbagliato.
sisi stesso esercizio..ok!
allora grazie finalmente ho capito, con tutti questi esercizi sbagliati non ci capivo più niente
allora grazie finalmente ho capito, con tutti questi esercizi sbagliati non ci capivo più niente
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