Intervallo massimale di esistenza
temo purtroppo di non aver capito bene come determinare l'intervallo massimale di esistenza di una soluzione di un'equazione differenziale.
riporto qui due esempi che non riesco a capire.
1) $ { ( x'-1/3x=-2e^tx^4 ),( x(0)=1 ):} $
la soluzione della quale devo calcolare l'intervallo massimale è $ x(t)=(3e^t-2e^(-t))^(-1/3) $ . allora calcolo il dominio di: $ x(t)=1/(3e^t-2e^(-t))^(1/3) $ trovando i punti in cui $ 3e^t-2e^(-t) $ è diverso da zero, ossia $ RR-1/2log(2/3) $ . la risoluzione dell'esercizio però mi dice che l'intervallo massimale è $ I=(1/2log(2/3),+oo) $ considerando l'intervallo aperto più grande contenuto nel dominio che contiene il punto $ t== $
cosa vuol dire quest'ultima frase
2) $ t=={ ( x'+tx=t^3/x ),( x(0)=-2 ):} $
anche qui non ho problemi a calcolare la soluzione che è $ x(t)=+-√(t^2-1+5e^(-t^2)) $ .
ora la risoluzione dice che delle due soluzioni prendo quella negativa, $ x(t)=-√(t^2-1+5e^(-t^2)) $ , perchè la condizione iniziale del problema di cauchy è $ x(0)=-2 $
mettendo insieme le due cose ho pensato che per determinare il segno della soluzione, come nel secondo esempio, io debba guardare al valore della condizione iniziale. per invece determinare l'intervallo massimale, come nel primo esempio, nel caso in cui io abbia due intervalli di ampiezza diversa, devo scegliere quello più grande. è giusto?
riporto qui due esempi che non riesco a capire.
1) $ { ( x'-1/3x=-2e^tx^4 ),( x(0)=1 ):} $
la soluzione della quale devo calcolare l'intervallo massimale è $ x(t)=(3e^t-2e^(-t))^(-1/3) $ . allora calcolo il dominio di: $ x(t)=1/(3e^t-2e^(-t))^(1/3) $ trovando i punti in cui $ 3e^t-2e^(-t) $ è diverso da zero, ossia $ RR-1/2log(2/3) $ . la risoluzione dell'esercizio però mi dice che l'intervallo massimale è $ I=(1/2log(2/3),+oo) $ considerando l'intervallo aperto più grande contenuto nel dominio che contiene il punto $ t== $
cosa vuol dire quest'ultima frase
2) $ t=={ ( x'+tx=t^3/x ),( x(0)=-2 ):} $
anche qui non ho problemi a calcolare la soluzione che è $ x(t)=+-√(t^2-1+5e^(-t^2)) $ .
ora la risoluzione dice che delle due soluzioni prendo quella negativa, $ x(t)=-√(t^2-1+5e^(-t^2)) $ , perchè la condizione iniziale del problema di cauchy è $ x(0)=-2 $
mettendo insieme le due cose ho pensato che per determinare il segno della soluzione, come nel secondo esempio, io debba guardare al valore della condizione iniziale. per invece determinare l'intervallo massimale, come nel primo esempio, nel caso in cui io abbia due intervalli di ampiezza diversa, devo scegliere quello più grande. è giusto?
Risposte
Ciao itisscience,
Che cosa dice il teorema di esistenza ed unicità della soluzione per i Problemi di Cauchy (PdC)?
Eh beh, lo dice la parola stessa: intervallo "massimale"...
Che cosa dice il teorema di esistenza ed unicità della soluzione per i Problemi di Cauchy (PdC)?
"itisscience":
nel caso in cui io abbia due intervalli di ampiezza diversa, devo scegliere quello più grande. è giusto?
Eh beh, lo dice la parola stessa: intervallo "massimale"...
se vengono rispettate le ipotesi del teorema allora se ho il PdC $ { ( y'(t)=f(t,y(t)) ),( y(t_0)=y_0 ):} $ allora esiste un'unica soluzione $ y(t) $ su $ [t_0-epsilon,t_0+epsilon] $
quindi non è come ho detto io nel topic, vero? potresti aiutarmi?
quindi non è come ho detto io nel topic, vero? potresti aiutarmi?
vorrei chiedere un'altra cosa sul secondo PdC scritto, che riguarda sempre l'intervallo massimale della soluzione che ho scritto, anche qui ho difficoltà a capire la risoluzione, che trascrivo: "l'intervallo massimale è $ I=RR $ . infatti l'argomento della radice è sempre positivo: infatti, se $ |x|<=1 $ allora $ 5e^(-t)+t^2>=5e^(-t^2)>=5e^(-1)>1 $ mentre se $ |x|>1 $ allora $ t^2+5e^(-t^2)>t^2>1 $ . non capisco il senso di queste stime 
"itisscience":
se vengono rispettate le ipotesi del teorema
Quali sono?
"itisscience":
non capisco il senso di queste stime
Il senso di queste stime è dimostrare che $\AA t \in \RR $ si ha $ 5e^(-t^2) + t^2 - 1 > 0 $, quindi secondo me c'è un errore perché i casi da analizzare sono $|t| \le 1 $ e $|t| > 1 $
f deve essere una funzione lipschitziana in y e continua in t, no?
potresti dirmi la versione giusta delle stime per sicurezza?
potresti dirmi la versione giusta delle stime per sicurezza?
"itisscience":
f deve essere una funzione lipschitziana in y e continua in t, no?
Sì. Dai un'occhiata ad esempio qui.
Controllando la derivabilità (il punto critico è quello che hai già scritto) si vede che gli intervalli possibili sono $(-\infty, 1/2 log(2/3)) $ e $(1/2 log(2/3), + \infty) $, ma quello massimale che contiene la condizione iniziale $t = 0 $, essendo ovviamente $ 1/2 log(2/3) < 0 < +\infty $, è il secondo, quindi è vero che
"itisscience":
l'intervallo massimale è $I=(1/2log(2/3),+\infty) $ considerando l'intervallo aperto più grande contenuto nel dominio che contiene il punto $t=0$
"itisscience":
potresti dirmi la versione giusta delle stime per sicurezza?
In che senso? La "versione giusta" è quella che hai già scritto, i casi però sono i seguenti:
$|t| <= 1 $: $ 5e^(-t^2)+t^2 >= 5e^(-t^2) >= 5e^(-1) > 1 \implies 5e^(-t^2)+t^2 - 1 > 0 $;
$|t| > 1 $: $ t^2+5e^(-t^2) > t^2 > 1 \implies 5e^(-t^2)+t^2 - 1 > 0 $
Quindi come volevasi dimostrare $\AA t \in \RR $ si ha $ 5e^(-t^2)+t^2 - 1 > 0 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo