Intervallo di integrazione [Integrali numeri complessi]
Salve a tutti,
sto preparando l'esame di analisi complessa (metodi matematici per l'ingegneria, o come si chiama nelle diverse università).
Mi trovo di fronte ad un problema che cerco di risolvere da prima di natale. In poche parole, dato un integrale di una funzione complessa in un intervallo a,b, non riesco a capire come trasformarlo negli estremi di integrazione.
La teoria l'ho capita ma non riesco a trovare un esempio "chiarificatore". Purtroppo le dispense del prof hanno solo teoria e niente esempi "numerici reali". A titolo informativo vi posto il primo esercizio di autovalutazione che non riesco a risolvere perchè non so "da dove iniziare" ma so come finire.
Si calcoli l'integrale della funzione $f(z)=z^2$ su C = segmento che unisce l'origine a $2+i$
Il mio dubbio è: come interpreto gli estremi a,b da queste informazioni? Che poi devo dividere l'integrale nella parte reale e immaginaria e integrare separatamente penso di saperlo fare.
Qualcuno può darmi una mano per favore?
Ringrazio tutti!
sto preparando l'esame di analisi complessa (metodi matematici per l'ingegneria, o come si chiama nelle diverse università).
Mi trovo di fronte ad un problema che cerco di risolvere da prima di natale. In poche parole, dato un integrale di una funzione complessa in un intervallo a,b, non riesco a capire come trasformarlo negli estremi di integrazione.
La teoria l'ho capita ma non riesco a trovare un esempio "chiarificatore". Purtroppo le dispense del prof hanno solo teoria e niente esempi "numerici reali". A titolo informativo vi posto il primo esercizio di autovalutazione che non riesco a risolvere perchè non so "da dove iniziare" ma so come finire.
Si calcoli l'integrale della funzione $f(z)=z^2$ su C = segmento che unisce l'origine a $2+i$
Il mio dubbio è: come interpreto gli estremi a,b da queste informazioni? Che poi devo dividere l'integrale nella parte reale e immaginaria e integrare separatamente penso di saperlo fare.
Qualcuno può darmi una mano per favore?
Ringrazio tutti!
Risposte
Saprai che l'integrale di una funzione complessa esteso ad una curva è la somma di due integrali curvilinei (del tipo di quelli di Analisi II); per calcolare tali integrali curvilinei dei determinare una rappresentazione parametrica del tuo segmento, come se fosse una curva del piano [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
Quindi la domanda è: come si scrive l'equazione parametrica del segmento congiungente [tex]$o=(0,0)$[/tex] al punto [tex]$2+\jmath=(2,1)$[/tex] (qui ho identificato il numero complesso [tex]$x+\jmath y\in \mathbb{C}$[/tex] con il suo rappresentante [tex]$(x,y) \in \mathbb{R}^2$[/tex])?
Quindi la domanda è: come si scrive l'equazione parametrica del segmento congiungente [tex]$o=(0,0)$[/tex] al punto [tex]$2+\jmath=(2,1)$[/tex] (qui ho identificato il numero complesso [tex]$x+\jmath y\in \mathbb{C}$[/tex] con il suo rappresentante [tex]$(x,y) \in \mathbb{R}^2$[/tex])?
Ciao gugo! Grazie per avermi risposto.
Esattamente quello che hai scritto tu è dove sono arrivato pure io a scrivere sul quaderno
.
Con la formula della retta passante per 2 punti ottengo: $x/2 - y/i =0 => x/2 +iy$. Adesso devo continuare a lavorare nel complesso o posso passare al reale?
Esattamente quello che hai scritto tu è dove sono arrivato pure io a scrivere sul quaderno
. Con la formula della retta passante per 2 punti ottengo: $x/2 - y/i =0 => x/2 +iy$. Adesso devo continuare a lavorare nel complesso o posso passare al reale?
Forse ti può servire questa vecchia discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 38446.html
si fa riferimento agli integrali curvilinei che dice Gugo.
https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 38446.html
si fa riferimento agli integrali curvilinei che dice Gugo.
Oh caspita! Perfetto! Me lo studio subito e magari posto i risultati per questa funzione
Grazie Dissonance!
Grazie Dissonance!
"net_math":Non è necessario che "ti studi" quel vecchio topic, in cui si discuteva con un altro utente di un esercizio; consultalo un po' poi se ti confonde, lascia perdere. Può essere utile se hai bisogno di esempi, questo sì. Se vuoi studiare qualcosa, meglio studiare un buon libro di analisi complessa.
Me lo studio subito
Sai cosa mi sta fregando veramente in questa materia? Proprio il fatto che stia facendo riferimento a diversi libri di testo. Non trovando chiaro quello che sta scritto sulle dispense, sto cercando su altri fonti lo stesso argomento. Purtroppo il Gilardi (analisi 3) è ancora in ordine dalla libreria e non so quando/se mi arriverà in tempo per l'esame. Ho preso Metodi matematici per l'ingegneria di codegone ma è stato spedito e lo sto ancora aspettando. In matematica non ho mai avuto tanti problemi
In ogni caso il mio "studio" è inteso come "capire lo svolgimento" e vedere un po' i passi che (male) sono descritti sulla teoria.
P.s.: leggo che anche tu sei di Bari, siamo compaesani
In ogni caso il mio "studio" è inteso come "capire lo svolgimento" e vedere un po' i passi che (male) sono descritti sulla teoria.
P.s.: leggo che anche tu sei di Bari, siamo compaesani
Dopo altre 4 ore di approfondimento sono riuscito a capire un po' di più di questi integrali.
A questo indirizzo
http://math.fullerton.edu/mathews/c2003 ... alMod.html
Ci sono alcuni esempi di come si risolvono gli integrali complessi su di un intervallo a,b . Una forte limitazione in quell'indirizzo è tuttavia quella che non viene considerata l'integrazione su curve. Essenzialmente gli integrali proposti da quel sito li so fare; quello proposto da me ad inizio topic no. Qualche idea di come mi possa far entrare in testa la "conversione" del mio raggio da (0,0) a (2,1)?
EDITO e cerco di spiegare meglio il problema: la mia confusione sta nel "dove" collocare il procedimento che mi porta alla risoluzione dell'integrale. In analisi 1 ero abituato ad avere l'integrale in un intervallo a,b di numeri. In analisi 2 ho avuto gli integrali doppi dove si potevano valutare sia in intervalli reali che tra due funzioni. In analisi 3 ho fatto la stessa cosa con 3 variabili.
Adesso non riesco più a capire come vanno valutati i vari dominii e i vari intervalli quando trovo una situazione anche se banale come quella che ho postato prima. Non so se sono stato abbastanza chiaro
Grazie
A questo indirizzo
http://math.fullerton.edu/mathews/c2003 ... alMod.html
Ci sono alcuni esempi di come si risolvono gli integrali complessi su di un intervallo a,b . Una forte limitazione in quell'indirizzo è tuttavia quella che non viene considerata l'integrazione su curve. Essenzialmente gli integrali proposti da quel sito li so fare; quello proposto da me ad inizio topic no. Qualche idea di come mi possa far entrare in testa la "conversione" del mio raggio da (0,0) a (2,1)?
EDITO e cerco di spiegare meglio il problema: la mia confusione sta nel "dove" collocare il procedimento che mi porta alla risoluzione dell'integrale. In analisi 1 ero abituato ad avere l'integrale in un intervallo a,b di numeri. In analisi 2 ho avuto gli integrali doppi dove si potevano valutare sia in intervalli reali che tra due funzioni. In analisi 3 ho fatto la stessa cosa con 3 variabili.
Adesso non riesco più a capire come vanno valutati i vari dominii e i vari intervalli quando trovo una situazione anche se banale come quella che ho postato prima. Non so se sono stato abbastanza chiaro
Grazie
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