Intervallo di Esistenza dell'integrale generale di una funz
"Stabilire l'intervallo di esistenza dell'integrale generale di tale equazione motivando adeguatamente"
y' = 2 |x| y
Come si stabilisce l'intervallo di esistenza??
A me verrebbe da dire che l'intervallo è tutto R visto che f (x,y) è continua..
Risposte
Sì, è tutto $\RR$ ma la giustificazione è completamente sbagliata.
Considera ad esempio $y'=y^2$, con dato iniziale $(0,1)$. Il secondo membro è continuo ma la soluzione non è globalmente definita. Conosci un po' di teoria, in particolare il teorema di esistenza e unicità globali?
Considera ad esempio $y'=y^2$, con dato iniziale $(0,1)$. Il secondo membro è continuo ma la soluzione non è globalmente definita. Conosci un po' di teoria, in particolare il teorema di esistenza e unicità globali?
Si ok deve essere uniformemente continua rispetto a x e lipschitziana in y, ma questo teorema non vale solo per i problemi di Cauchy?
Di quale teorema stai parlando?
Del teorema di Cauchy, che evidentemente non è lo stesso a cui fai riferimento tu
Io mi riferisco al teorema di esistenza e unicità globale (una versione la puoi trovare qui).
E' chiaro che bisogna distinguere a seconda del dato iniziale. Comunque, l'idea è semplice: se $y_0=0$ allora la soluzione è...
Se invece $y_0 \ne 0$, allora, poichè il secondo membro è continuo e a crescita (al più) lineare, allora...
E' chiaro che bisogna distinguere a seconda del dato iniziale. Comunque, l'idea è semplice: se $y_0=0$ allora la soluzione è...
Se invece $y_0 \ne 0$, allora, poichè il secondo membro è continuo e a crescita (al più) lineare, allora...
Esistono teoremi in proposito alla prolungabilità globale.
Ad esempio, vedi il Teor. 3.2.1 a pag. 37 delle dispense segnalate qui.
Ad esempio, vedi il Teor. 3.2.1 a pag. 37 delle dispense segnalate qui.
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