Intervallo contenuto nell'immagine di una funzione
$ D:=((x,y)in R^2: 1<=abs(x-y)<=2 ,1<=absy<=2,absx<=2) $ $ f(x,y)=x-3y $
Quali intervalli sono contenuti in $ f(D) $ ?
A) $ [-3,8) $
B) $ (-8,8) $
C) $ [2,7] $
D) $ [-7,-2] $
Non so da cosa partire per fare questo esercizio. Qualcuno mi spiega come fare a disegnare l'IMMAGINE? Il domino so disegnarlo...
Quali intervalli sono contenuti in $ f(D) $ ?
A) $ [-3,8) $
B) $ (-8,8) $
C) $ [2,7] $
D) $ [-7,-2] $
Non so da cosa partire per fare questo esercizio. Qualcuno mi spiega come fare a disegnare l'IMMAGINE? Il domino so disegnarlo...
Risposte
Comincerei a disegnare $D$ e vedere se e' connesso. In tal caso sai almeno che l'immagine e' un intervallo, siccome $f$ e' continua. Ricorda poi che se $I$ e' un intervallo e $a,b\in I$ allora $[a,b]\subseteq I$.
Prof. Lussardi, la ringrazio per la risposta. Ho disegnato il dominio, lo allego sotto forma di immagine perchè sinceramente non saprei come farlo utilizzando Latex.
Adesso che ho fatto questo come posso rispondere alla domanda relativa all'immagine?
Un dominio è connesso se comunque fissati due punti P,Q appartenenti all'interno del dominio è possibile congiungerli con una poligonale i cui punti sono tutti appartenenti all'interno del dominio, per quanto ne so. Mi pare che questo non sia connesso. Sbaglio?
Adesso che ho fatto questo come posso rispondere alla domanda relativa all'immagine?
Un dominio è connesso se comunque fissati due punti P,Q appartenenti all'interno del dominio è possibile congiungerli con una poligonale i cui punti sono tutti appartenenti all'interno del dominio, per quanto ne so. Mi pare che questo non sia connesso. Sbaglio?
Si, quella che hai dato e' la nozione di connessione per archi, comunque $D$ non viene connesso, ha, sembra, tre componenti connesse, ma non ci sono problemi, basta che applichi il ragionamento che facevo su ogni componente connessa, l'immagine di $f$ di ognuna di queste tre componenti connesse e' un intervallo. Controlla ora se riesci a prendere come immagine i valori che hai agli estremi degli intervalli che ti hanno assegnato.
Per avere in generale gli intervalli dell'immagine, una volta che ho disegnato il dominio, devo prendere gli estremi del grafico del dominio, sostituirli nella funzione e vedere il risultato? Cioè, terra terra, devo fare così? Mi scuso per l'ignoranza.
PARELLELOGRAMMA IN ALTO
$ f(0,2)=-6 $ $ f(1,0)=1 $ $ f(0,1)=-3 $ $ f(-1,1)=-4 $ intervallo immagine $ [-6,1] $
TRIANGOLO IN BASSO A SINISTRA
$ f(-2,0)=-2 $ $ f(-1,0)=-1 $ $ f(-2,-1)=1 $ intervallo immagine $ [-2,1] $
PARALLELOGRAMMA IN BASSO A DESTRA
$ f(1,0)=1 $ $ f(2,0)=2 $ $ f(0,-1)=3 $ $ f(1,-1)=4 $ intervallo immagine $ [1,4] $
PARELLELOGRAMMA IN ALTO
$ f(0,2)=-6 $ $ f(1,0)=1 $ $ f(0,1)=-3 $ $ f(-1,1)=-4 $ intervallo immagine $ [-6,1] $
TRIANGOLO IN BASSO A SINISTRA
$ f(-2,0)=-2 $ $ f(-1,0)=-1 $ $ f(-2,-1)=1 $ intervallo immagine $ [-2,1] $
PARALLELOGRAMMA IN BASSO A DESTRA
$ f(1,0)=1 $ $ f(2,0)=2 $ $ f(0,-1)=3 $ $ f(1,-1)=4 $ intervallo immagine $ [1,4] $
Sicuramente se fai cosi' trovi degli intervalli contenuti nell'immagine ma mi sembra che nessuno di essi contenga un intervallo dato dal testo, devi provare con altri punti. Io ti consiglierei, per esempio, di vedere se $-3$ e $8$ sono raggiunti da $f$ tanto per cominciare.
"Luca.Lussardi":
Sicuramente se fai cosi' trovi degli intervalli contenuti nell'immagine ma mi sembra che nessuno di essi contenga un intervallo dato dal testo, devi provare con altri punti. Io ti consiglierei, per esempio, di vedere se $-3$ e $8$ sono raggiunti da $f$ tanto per cominciare.
Cioè sostituisco $-3$ e $8$ dentro la funzione?
No, intendo se per esempio $-3$ e' $f(x,y)$ per un certo $(x,y)\in D$. Per esempio, $-3=x-3y$ la puoi verificare se $x=0$ e $y=1$ che mi sembra stia in $D$. Prova a fare la stessa cosa con gli altri valori..
La ringrazio ancora per la pazienza. Vediamo se ho capito:
A) $ [-3,8) $
$ -3=x-3y $ con $ x=0;y=1 $ che stanno nel dominio;
$ 8=x-3y $ con $ x=0;y=-8/3 $ che non stanno nel dominio. Quindi $ [-3,8) $ non è contenuto in $ f(D) $. Anche se essendo non compreso 8 non sono sicuro si faccia così...
;
B) $ (-8,8) $ no, so già dalla A che $ f(x,y)=8 $ non è verificata per valori appartenenti al dominio;
C) $ [2,7] $
$ 2=x-3y $ con $ x=0;y=-2/3 $ ok, stanno nel dominio;
$ 7=x-3y $ con $ x=0;y=-7/3 $ no, non stanno nel dominio.
Quindi NO.
D)$ [-7,-2] $
$ -7=x-3y $ con $ x=0;y=7/3 $ n non stanno nel dominio....
Mi sa che non ho capito perchè nessuno di questi risulta appartenente. Dove sbaglio?
EDIT: oppure va bene la B perchè essendo un intervallo aperto va bene qualsiasi valore tra $ (-8,8) $ esclusi gli estremi, che ricada nel dominio???
A) $ [-3,8) $
$ -3=x-3y $ con $ x=0;y=1 $ che stanno nel dominio;
$ 8=x-3y $ con $ x=0;y=-8/3 $ che non stanno nel dominio. Quindi $ [-3,8) $ non è contenuto in $ f(D) $. Anche se essendo non compreso 8 non sono sicuro si faccia così...
;B) $ (-8,8) $ no, so già dalla A che $ f(x,y)=8 $ non è verificata per valori appartenenti al dominio;
C) $ [2,7] $
$ 2=x-3y $ con $ x=0;y=-2/3 $ ok, stanno nel dominio;
$ 7=x-3y $ con $ x=0;y=-7/3 $ no, non stanno nel dominio.
Quindi NO.
D)$ [-7,-2] $
$ -7=x-3y $ con $ x=0;y=7/3 $ n non stanno nel dominio....
Mi sa che non ho capito perchè nessuno di questi risulta appartenente. Dove sbaglio?
EDIT: oppure va bene la B perchè essendo un intervallo aperto va bene qualsiasi valore tra $ (-8,8) $ esclusi gli estremi, che ricada nel dominio???
Potresti avere piu' soluzioni pero' di quelle che hai trovato quindi questa verifica non ti permette di concludere. Ho provato a ragionare in modo diverso pero': sai che una funzione lineare ha massimo e minimo per forza nei vertici dei poligoni che formano il dominio quindi ti basta controllare quelli, ma non mi torna neanche a me una delle risposte che hai dato, sei certo di averle trascritte bene?
Si, sono trascritte bene. C'è anche un'altra "fila" di possibili risposte da verificare e sono le seguenti,vorrei provare a verificarle ma non ho capito come devo comportarmi con gli intervalli aperti... 
:
A1) $ (-8,1) $
B1) $ (2,3) $
C1) $ [-3,2) $
D1) $ [6,7) $
:A1) $ (-8,1) $
B1) $ (2,3) $
C1) $ [-3,2) $
D1) $ [6,7) $
"davidcape":
Per avere in generale gli intervalli dell'immagine, una volta che ho disegnato il dominio, devo prendere gli estremi del grafico del dominio, sostituirli nella funzione e vedere il risultato? Cioè, terra terra, devo fare così? Mi scuso per l'ignoranza.
PARELLELOGRAMMA IN ALTO
$ f(0,2)=-6 $ $ f(1,0)=1 $ $ f(0,1)=-3 $ $ f(-1,1)=-4 $ intervallo immagine $ [-6,1] $
TRIANGOLO IN BASSO A SINISTRA
$ f(-2,0)=-2 $ $ f(-1,0)=-1 $ $ f(-2,-1)=1 $ intervallo immagine $ [-2,1] $
PARALLELOGRAMMA IN BASSO A DESTRA
$ f(1,0)=1 $ $ f(2,0)=2 $ $ f(0,-1)=3 $ $ f(1,-1)=4 $ intervallo immagine $ [1,4] $
avevo già verificato gli angoli del dominio e venivano questi intervalli, nessuna della prima fila di risposte va bene ma non va bene neanche nessuna risposta della seconda fila. Mi viene il dubbio di aver sbagliato a fare il dominio ma anche su Wolfram viene come mi viene a mano. E' un mistero.
Se i conti sono esatti hai che $f(D)=[-6,4]$ mi sembra perche' devi fare l'unione dei tre intervalli che hai trovato. Per la prima fila non trovo la soluzione, per la seconda fila vanno bene B1 e C1.
La ringrazio professore
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