Intervallo chiuso in Weirstrass e Cantor
Salve a tutti. Ho un dubbio sulla dimostrazione del teorema (in una variabile) di Weirstrass e quello Cantor. In ambo gli enunciati si specifica che l'intervallo di definizione della funzione deve essere chiuso e limitato. Studiando le dimostrazioni, effettivamente tale intervallo deve essere limitato, per poter applicare il teorema di Boltzano-Weirstrass. Tuttavia, riflettendoci, mi sfugge il motivo per cui tale intervallo debba essere anche chiuso. Perchè ?
Grazie !
Grazie !
Risposte
Perchè se non lo fosse ti potresti trovare in situazioni del genere:
\[
f:]0,1[\ni x\mapsto x\in \mathbb{R}
\]
ed il teorema di Weierstrass va a farsi benedire.
Per il teorema di Cantor (quello sull'uniforme continuità, suppongo), la situazione è analoga: pensa al classico controesempio:
\[
f: ]0,1]\ni x \mapsto \frac{1}{x} \in \mathbb{R}.
\]
Comunque è tutta roba che si trova su ogni buon libro di Analisi I.
\[
f:]0,1[\ni x\mapsto x\in \mathbb{R}
\]
ed il teorema di Weierstrass va a farsi benedire.
Per il teorema di Cantor (quello sull'uniforme continuità, suppongo), la situazione è analoga: pensa al classico controesempio:
\[
f: ]0,1]\ni x \mapsto \frac{1}{x} \in \mathbb{R}.
\]
Comunque è tutta roba che si trova su ogni buon libro di Analisi I.
Grazie mille ! Sei stato velocissimo 
Purtroppo il libro adottato è un po "stringato" ...

Comunque è tutta roba che si trova su ogni buon libro di Analisi I.
Purtroppo il libro adottato è un po "stringato" ...
Qual è il libro? Per curiosità...