Intervalli nei teoremi di Rolle e Lagrange

[mcadei]

Buongiorno, non riesco a capire una cosa: nelle ipotesi dei teoremi di Rolle e Lagrange si chiede che la funzione sia continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b). Come mai non si può considerare la funzione derivabile nell'intervallo chiuso [a,b] ma serve considerarla derivabile solo nell'intervallo aperto ?
Grazie in anticipo per l'aiuto.

[gugo82]

Guarda che chiedere la derivabilità anche negli estremi (il che equivale alla derivabilità in $a$ da destra ed in $b$ da sinistra) è un "di più", non un "di meno".
In altre parole, se aggiungessi la derivabilità anche negli estremi avresti un teorema meno generale, perchè ottenuto in ipotesi più restrittive.

Ad esempio, l'enunciato di Rolle con la richiesta di derivabilità pure negli estremi non si applica alla funzione:
\[
f(x) := \sqrt{1-x^2},\qquad x\in [-1,1]\; ,
\]
alla quale, invece, l'enunciato di Rolle "classico" si applica tranquillamente (come si può vedere anche disegnando un grafico).

[francicko]

"marcocadei":Buongiorno, non riesco a capire una cosa: nelle ipotesi dei teoremi di Rolle e Lagrange si chiede che la funzione sia continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b). Come mai non si può considerare la funzione derivabile nell'intervallo chiuso [a,b] ma serve considerarla derivabile solo nell'intervallo aperto ?
Grazie in anticipo per l'aiuto.

Credo che affinchè i teoremi siano validi non è necessario che la funzione sia derivabile agli estremi dell'intervallo, ma lo
è per i punti interni a tale intervallo, diversamente potrebbe mancare la derivata in qualche punto interno, come succede ad esempio nei punti angolosi, ed il teorema perderebbe validità.
In definitiva si può considerare benissimo la funzione derivabile agli estremi dell'intervallo, ma il teorema è valido per una condizione meno restrittiva, che considera appunto la derivabilità solo all'interno dell'intervallo.
x@Gugo.
Ho corretto , così è giusto?