Intervalli di numeri reali

[Paolo k]

Buongiorno, potreste darmi un esempio di biiezione tra l'intervallo aperto (0,1) e l'intervallo chiuso [0,1]?

[gugo82]

Proviamo a risolvere un problema simile, così poi puoi provare ad usare la stessa tecnica per il tuo.

Ad esempio, troviamo una biiezione tra $]0,1]$ e $]0,1[$ (perdonami, ma le parentesi tonde le uso per altro, non per gli intervalli).
Scelta una successione $(a_n)$ di punti di $]0,1[$ a due a due distinti, quello che si fa per costruire la biiezione è usare una "variante" del ragionamento del cosiddetto hotel di Hilbert: si "chiede" a $1$ di occupare il posto di $a_0$ e ad ogni $a_n$ di occupare il posto di $a_(n+1)$, lasciando inalterata la posizione di tutti gli altri punti di $]0,1]$.

Insomma, se -per fissare le idee- scegliamo la successione $1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/(n+2), ...$ con $n in NN$, istituiamo la funzione $f:]0,1] -> RR$ ponendo:

$f(x) := \{ (1/2, ", se " x = 1), (1/(n+3), ", se " x=1/(n+2) " per qualche " n in NN), (x, ", se " x != 0","1/2","1/3",... ," 1/(n+2)", ..."):}$,

il cui grafico, eccezion fatta per la zona intorno a $0$ che è "indisegnabile" (per accumulo di "singolarità del grafico", perciò l'ho disegnata con tratto sottile), è qualcosa di simile:
[asvg]xmin=0; xmax=12; ymin=0; ymax=12;
axes();
stroke="gray"; strokewidth=0.5;
path([[12,0],[12,6],[0,6]]); path([[6,0],[6,4],[0,4]]); path([[4,0],[4,3],[0,3]]); path([[3,0],[3,2.4],[0,2.4]]); path([[2.4,0],[2.4,2],[0,2]]);
stroke="dodgerblue"; marker="none"; strokewidth=0.5;
line([0,0],[2,2]);
marker="dot"; strokewidth=2.5;
line([12,12],[6,6]); line([6,6],[4,4]); line([4,4],[3,3]); line([3,3],[2.4,2.4]); line([2.4,2.4],[2,2]);
line([0,0],[0,0]);
dot([12,6]); dot([6,4]); dot([4,3]); dot([3,2.4]); dot([2.4,2]);
text([0,0],"0", belowleft);
text([12,0], "1", below); text([6,0], "1/2", below); text([4,0], "1/3", below); text([3,0], "1/4", below); text([2.4,0], "1/5", below);
text([0,12], "1", left); text([0,6], "1/2", left); text([0,4], "1/3", left); text([0,3], "1/4", left); text([0,2.4], "1/5", left); text([0,2], "1/6", left);[/asvg]
(in cui i pallini gialli indicano valori non presi, mentre i pallini azzurri ed il tratto continuo quelli presi). Prova a dimostrare che:

[*:9424o5vu] $f(]0,1])=]0,1[$,

[/*:m:9424o5vu]
[*:9424o5vu] $f$ è iniettiva.[/*:m:9424o5vu][/list:u:9424o5vu]

In tal modo, se restringiamo il codominio di $f$ alla sua immagine, otteniamo una biiezione che è quella che ci serviva.

[Paolo k]

Non so se sia una dimostrazione rigorosa: sia 0<$\omega$ < $1/n$ per ogni n naturale. Prendiamo la retta iperreale ed un intervallo chiuso [a,b] dove a e b sono numeri reali. Usiamo la funzione:" Standard" (st) dell'analisi non standard (st di $\omega$ =0), Abbiamo quindi che st [a,b] $\to$ st(a+$\omega$, b-$\omega$), quest'ultima con la funzione st diventa [a,b] quindi st è in questo caso una funzione iniettiva da [a,b] a (a,b). Tornando all'analisi standard basta considerare la funzione f(x) =x ed abbiamo una funzione iniettiva da (a,b) e [a,b], quindi (a,b) è equipotente a [a,b]. Ricordo che volevo solo dimostrare l'equipotenza tra l'intervallo aperto e quello chiuso non presentare una biiezione perchè le due funzioni sono diverse, vi prego di dirmi se il procedimento che ho usato è corretto, grazie.

[gugo82]

"Paolo k":Ricordo che volevo solo dimostrare l'equipotenza tra l'intervallo aperto e quello chiuso non presentare una biiezione [...]

In verità non è quello che hai chiesto:

"Paolo k":potreste darmi un esempio di biiezione tra l'intervallo aperto (0,1) e l'intervallo chiuso [0,1]?

A questo punto, dato che non riesci a formulare bene le tue richieste, ti lascio riflettere da solo sul problema.

[Paolo k]

Gugo 82, sono soddisfatto della biiezione che mi hai scritto, la mia voleva solo essere un'aggiunta per vedere se con l'analisi di Robinson si poteva semplificare la dimostrazione dell' equipotenza tra intervalli, forse avrei dovuto aprire un'altra discussione. Ciao e scusa