Intervalli di monotonia e immagine di una funzione
Ho un picolo dubbio sullo studio di una funzione:
Gli intervalli di monotonia sono i punti che si trovano studiando la positività della derivata prima? Ad esempio la funzione $exp((9x-x^2)/(x+3))-1$ ha derivata prima: $(exp((9x-x^2)/(x+3))*(-x^2-6x+27))/(x+3)^2$ di cui:
$exp((9x-x^2)/(x+3))$ sempre positiva essendo una funzione esponenziale;
$(x+3)^2$ sempre positiva essendo un quadrato;
$-x^2-6x+27 = ((x_1 = 3),(x_2=-9))$;
studiando la positività verifico che gli unici punti in cui ci sono massimi e minimi sono proprio $-9, 3$ dunque il mio intervallo di monotonia è proprio quello formato da questi due valori. Quindi se avessi avuto altri punti, questi avrebbero fatto tutti parte del mio intervallo di monotonia. Sono giuste le mie deduzioni????
L'immagine invece rappresenta i valori che può assumere la mia funzione se ho capito bene, dunque sono i valori che mi vengono fuori andando a sostituire un opportuno valore ad x nella mia funzione...il problema è che non so come trovare questo valore...Penso che si debbano inserire valori in base al dominio della funzione che in questo caso è $Dom: (-\infty, -3) U (-3, +\infty)$ (non sono riuscito ad utilizzare le parentesi quadre per gli intervalli aperti) quindi $AA x in RR: x!=-3$
Grazie anticipatamente per le vostre risposte
Gli intervalli di monotonia sono i punti che si trovano studiando la positività della derivata prima? Ad esempio la funzione $exp((9x-x^2)/(x+3))-1$ ha derivata prima: $(exp((9x-x^2)/(x+3))*(-x^2-6x+27))/(x+3)^2$ di cui:
$exp((9x-x^2)/(x+3))$ sempre positiva essendo una funzione esponenziale;
$(x+3)^2$ sempre positiva essendo un quadrato;
$-x^2-6x+27 = ((x_1 = 3),(x_2=-9))$;
studiando la positività verifico che gli unici punti in cui ci sono massimi e minimi sono proprio $-9, 3$ dunque il mio intervallo di monotonia è proprio quello formato da questi due valori. Quindi se avessi avuto altri punti, questi avrebbero fatto tutti parte del mio intervallo di monotonia. Sono giuste le mie deduzioni????
L'immagine invece rappresenta i valori che può assumere la mia funzione se ho capito bene, dunque sono i valori che mi vengono fuori andando a sostituire un opportuno valore ad x nella mia funzione...il problema è che non so come trovare questo valore...Penso che si debbano inserire valori in base al dominio della funzione che in questo caso è $Dom: (-\infty, -3) U (-3, +\infty)$ (non sono riuscito ad utilizzare le parentesi quadre per gli intervalli aperti) quindi $AA x in RR: x!=-3$
Grazie anticipatamente per le vostre risposte
Risposte
Gli intervalli di monotonia sono gli intervalli in cui la derivata prima ha segno costante. Nel tuo caso tutto si riduce a studiare il segno di $-x^2-6x+27= -(x-3)(x+9)$. Questo polinomio è positivo per $-9< x< 3$.
Quindi la funzione sarà monotona decrescente in $(-\infty, -9)\cup (3,+\infty)$ e monotona crescente in $(-9,3)\setminus\{ -3 \}$.
Per l'immagine procedi "per gradi". Hai una funzione composta $f\circ g$ dove $g(x)=(9x-x^2)/(x+3), f(x)=e^x$. Inizia a vedere qual è l'immagine di $g$ e poi vedi cosa fa $f$ a questo insieme.
Paola
Quindi la funzione sarà monotona decrescente in $(-\infty, -9)\cup (3,+\infty)$ e monotona crescente in $(-9,3)\setminus\{ -3 \}$.
Per l'immagine procedi "per gradi". Hai una funzione composta $f\circ g$ dove $g(x)=(9x-x^2)/(x+3), f(x)=e^x$. Inizia a vedere qual è l'immagine di $g$ e poi vedi cosa fa $f$ a questo insieme.
Paola
Quindi per gli intervalli di monotonia devo limitarmi a scrivere dove la funzione sia crescente e decrescente. Ottimo!
Per l'immagine invece non ho ben chiari quali valori devo testare, così su due piedi mi verrebbe da dire di sostituire i valori che formano il mio intervallo di monotonia, dato che so che in quei punti la funzione esiste sicuramente e forma dei minimi e massimi, quindi avendo -9 e 3 so grazie al dominio che sono valori validi per la mia funzione, avrei per $g(x) = (9x - x^2)/(x+3) con x = -9 = 27$ e avendo $f(x) = e^x = e^27$, la stessa cosa vale per $x = 3$ che mi darebbe $e^3$ in questo modo l'immagine sono i valori che può assumere la funzione nell'intervallo $[e^3,e^27]$ devo procedere con questo ragionamento?
Per l'immagine invece non ho ben chiari quali valori devo testare, così su due piedi mi verrebbe da dire di sostituire i valori che formano il mio intervallo di monotonia, dato che so che in quei punti la funzione esiste sicuramente e forma dei minimi e massimi, quindi avendo -9 e 3 so grazie al dominio che sono valori validi per la mia funzione, avrei per $g(x) = (9x - x^2)/(x+3) con x = -9 = 27$ e avendo $f(x) = e^x = e^27$, la stessa cosa vale per $x = 3$ che mi darebbe $e^3$ in questo modo l'immagine sono i valori che può assumere la funzione nell'intervallo $[e^3,e^27]$ devo procedere con questo ragionamento?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo