Intervalli di monotonia.
Ciao ragazzi!
Devo studiare la monotonia di:
$ f(x) = e^(sqrt(x))-sqrt(x)-(x+4)/2 $
Ho trovato:
$f'(x) = (e^(sqrt(x)) - sqrt(x) - 1)/(2sqrt(x)) $
Studio il segno:
Il denominatore è sempre positivo.
Studio il denominatore: $ e^(sqrt(x)) >= sqrt(x) + 1 $
Ecco mi sono perso nello studio del denominatore, qualche idea? Aggiungo che devo trovare gli intervalli di monotonia, quindi devo cercare i punti precisi (non approsimati) critici.
Grazie
Devo studiare la monotonia di:
$ f(x) = e^(sqrt(x))-sqrt(x)-(x+4)/2 $
Ho trovato:
$f'(x) = (e^(sqrt(x)) - sqrt(x) - 1)/(2sqrt(x)) $
Studio il segno:
Il denominatore è sempre positivo.
Studio il denominatore: $ e^(sqrt(x)) >= sqrt(x) + 1 $
Ecco mi sono perso nello studio del denominatore, qualche idea? Aggiungo che devo trovare gli intervalli di monotonia, quindi devo cercare i punti precisi (non approsimati) critici.
Grazie
Risposte
Hai già fatto qualche prova? A quanto pare no, perchè il risultato ( in questo caso ) è lapalissiano.
In generale, non puoi ricavare molto da un'espressione trascendente.
In questo caso, però, se fai caso, la disequazione che citi tu è sempre verificata nel dominio della $x$.
Dal punto di vista teorico.. magari c'è qualche falla, vediamo se qualcuno mi smentisce: dato che entrambe le funzioni sono continue strettamente crescenti, esiste un'unico punto in cui il primo membro ed il secondo assumono lo stesso valore. Ovvero in cui $e^(sqrt(x)) = sqrt(x) +1$. E' facile verificare che questo punto è appunto lo 0. E dato che per un qualunque $x_0 > 0$ si ha $e^(sqrt(x_0)) > sqrt(x_0) +1$, l'equazione di sopra è verificata $ forall x > 0 $.
In generale, non puoi ricavare molto da un'espressione trascendente.
In questo caso, però, se fai caso, la disequazione che citi tu è sempre verificata nel dominio della $x$.
Dal punto di vista teorico.. magari c'è qualche falla, vediamo se qualcuno mi smentisce: dato che entrambe le funzioni sono continue strettamente crescenti, esiste un'unico punto in cui il primo membro ed il secondo assumono lo stesso valore. Ovvero in cui $e^(sqrt(x)) = sqrt(x) +1$. E' facile verificare che questo punto è appunto lo 0. E dato che per un qualunque $x_0 > 0$ si ha $e^(sqrt(x_0)) > sqrt(x_0) +1$, l'equazione di sopra è verificata $ forall x > 0 $.
Valutando i valori delle due funzioni, sembra che abbia ragione tu, pare che costantemente $e^(sqrt(x)) > sqrt(x) +1$. Ma non vi è un modo per dimostrarlo?! Forse valutando il limite della derivata di entrambe a destra nello zero?
"pater46":
Dal punto di vista teorico.. magari c'è qualche falla, vediamo se qualcuno mi smentisce: dato che entrambe le funzioni sono continue strettamente crescenti, esiste un'unico punto in cui il primo membro ed il secondo assumono lo stesso valore. Ovvero in cui $e^(sqrt(x)) = sqrt(x) +1$.
Non ho capito bene cosa tu intenda. Se vuoi dire che $e^(sqrt(x)) = sqrt(x) +1$ ha un'unica soluzione perché $e^(sqrt(x))$ e $sqrt(x) +1$ sono strettamente crescenti e continue, allora la conclusione non è sempre vera.
$sin(x) + 2x$ e $2x$ sono continue derivabili e strettramente crescenti, ma $sin(x) + 2x = 2x$ cioè $sin(x) = 0$ ha infinite soluzioni.
Mmm.. ottimo esempio. Non ricordo molto a riguardo, lo davo più per logica. C'è qualche ipotesi sufficiente per dimostrare tale soluzione unica?
"pater46":
Mmm.. ottimo esempio. Non ricordo molto a riguardo, lo davo più per logica. C'è qualche ipotesi sufficiente per dimostrare tale soluzione unica?
Penso si possa usare il teorema degli zeri per dire che almeno una soluzione esiste (in questo caso è banale e non serve neppure!), e poi si potrebbe dimostrare che la funzione differenza $e^(sqrt(x)) - 1 - sqrt(x)$ è strettamente monotona. Questo dovrebbe garantire l'unicità della soluzione.
Perfetto!
La funzione $g(x):=e^(sqrt(x)) - sqrt(x) - 1$ è strettamente crescente per $x!=0$, e sempre positiva perchè il minimo della funzione è $f(0)>0$. Allora $x=0$ è l'unico punto critico per $f(x)$ (come si vede banalmente). $f(x)$ è quindi sempre crescente in $[0,+oo]$, che è per altro il suo dominio.
Grazie ragazzi
La funzione $g(x):=e^(sqrt(x)) - sqrt(x) - 1$ è strettamente crescente per $x!=0$, e sempre positiva perchè il minimo della funzione è $f(0)>0$. Allora $x=0$ è l'unico punto critico per $f(x)$ (come si vede banalmente). $f(x)$ è quindi sempre crescente in $[0,+oo]$, che è per altro il suo dominio.
Grazie ragazzi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo